Картинки из квадратов \ О гармоническом \ Бинарность \ Полные бинарные деревья \

10.4.4.10. Порождающие гармонии Дерева

Начало см. здесь.
Для работы представленного ниже калькулятора достаточно ввести только "исходное число", его числитель и знаменатель, которые могут быть абсолютно любыми натуральными числами (единственное ограничение: числитель вводимой дроби не должен совпадать с ее знаменателем, т. е. мы ограничиваемся положительными рациональными числами, отличными от 1). Другими словами, в качестве "исходного числа" может выступать любое число, расположенное ниже нулевого уровня Дерева.
Важно! Я гарантирую корректную работу калькулятора только в браузере Internet Explorer. Введите исходное число и нажмите кнопку "Вычислить". Калькулятор отобразит все ингредиенты "порождающей гармонии", ассоциированной с данным исходным числом.
"Программа числа" — это последовательность операций прибавления и ко-прибавления единицы, при помощи которых введенное "исходное число" может быть построено из единицы. Например, для исходного числа 4/7 его "программой" будет последовательность VHVV. Это означает, что 4/7 может быть построено из единицы при помощи следующей последовательности операций прибавления и ко-прибавления единицы:   4/7 = V(H(V(V(1)))).
Каждое число, введенное как "исходное" , рано или поздно возникает на каком-то уровне Дерева. Оно возникает, определенным образом вставляясь между некоторыми двумя другими числами, которые появились на предыдущих уровнях. Но возникает не "абы как" между, а, вот, именно таким образом, чтобы обеспечить определенный баланс со своим ближайшим окружением. Именно это обстоятельство и позволяет утверждать, что "Дерево растет гармонично".
Мои первоначальные замечания по этому поводу см. здесь. "Порождающая гармония", ассоциированная с введенным "исходным числом", представляет собой некоторую гармоническую четверку точек. "Исходное число" фигурирует в этой четверке под именем M. Гармоническая четверка называется "порождающей", поскольку точка M может рассматриваться как четвертая гармоническая к некоторой тройке точек A, B, N, возникших на предыдущих уровнях Дерева. Т. е. каждое вновь возникающее на Дереве число может быть построено из уже полученных ранее чисел только лишь при помощи операции построения четвертой гармонической к трем заданным числам.
Ингредиенты каждой порождающей гармонии обозначены буквами A, M, B, N. Здесь A, B — это числа, между которыми вставляется "исходное число" M при своем возникновении, причем всегда A < B. Таким образом, точка M делит отрезок AB внутренним образом. Пояснения относительно точки N, которая делит тот же самый отрезок AB внешним образом (причем в том же самом отношении, что точка M делит отрезок AB внутренним образом) см. здесь. В зависимости от положения точки N внешнего деления (находится ли она справа или слева от отрезка AB), мы подразделяем порождающие гармонии на "правые" и "левые".
Тот факт, что четверка точек A, M, B, N образует гармоническую четверку равносилен тому факту, что отрезок NM является средним гармоническим длин отрезков NA и NB. Это следует из утверждения, приведенного в качестве упражнения здесь, а также из определения операции гармонического среднего (альтернативные определения операции гармонического среднего см. здесь и здесь). Представленный выше калькулятор вычисляет длины отрезков NA, NB и NM, а также среднее гармоническое длин отрезков NA и NB.
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ О гармоническом \ Бинарность \ Полные бинарные деревья \