|
5. Прямоугольники, собранные из квадратов
|
|
|
|
Математика владеет не только истиной, но и наивысшей красотой — красотой отточенной
и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим
произведениям искусства.
|
Б. Рассел
В моих
программах рисования
из разноцветных квадратиков можно выкладывать различного рода
"реалистические" изображения
(с образцами которых можно ознакомиться в
галерее работ).
А что произойдет в том случае, если начать выкладывать из квадратов какие-либо
абстрактные композиции (например, собирать из них прямоугольники)?
При развитии этой последней мысли я вдохновлялся, в первую очередь,
идеями Малевича о построении на основе "квадратной первоформы"
некоторой иерархии так называемых
архитектонов
(правда, в отличие от Малевича я хотел бы ограничиться плоскостью и не выходить в пространство).
Что же должны были означать эти сложенные из квадратов прямоугольники-архитектоны
(которые далее мы будем называть еще
"блочными системами")?
Мне хотелось бы, чтобы они визуализировали
"первосущее" (т. е., согласно
Пифагору,
природу чисел и пропорций). В этом случае про них действительно можно было бы сказать,
что они являются "красивыми" (во всяком случае, с точки зрения античных представлений о прекрасном).
Ведь, как известно, в
античности и далее в
раннем средневековье число почиталось в качестве
основы высшей красоты, так что приведенная выше цитата Б. Рассела
была бы в то время просто тавтологией.
|
Собранные из квадратов прямоугольники будут называться еще
"блочными системами" (пример одной из них изображен слева).
Блоки, составляющие эти системы (т. е. отдельные квадраты), будут иногда закрашиваться в какие-либо цвета
или же в центр блока будет помещаться число, обозначающее размер блока,
выраженный в некоторых условных единицах (у. е.).
|
Теперь осталось только открыть принцип, по которому должны складываться
"двумерные архитектоны", чтобы они на самом деле визуализировали
"природу числа".
Лично я увидел такой принцип в
алгоритме Евклида, который был в свое время чем-то вроде
"станового хребта"
античной арифметики.
С алгоритмом Евклида можно естественно ассоциировать блочные системы,
которые подробно рассматриваются в
Разделе 5.1.
После определенной доработки этих систем, осуществленной в
Разделе 7,
они оказываются вполне в состоянии претендовать на роль
"живописных чисел"
(по аналогии с
числами "музыкальными",
которые слышал в музыке
св. Августин).
Можно показать, что блочные системы, ассоциированные с алгоритмом Евклида,
содержат, по крайней мере, два одинаковых квадрата.
Требование же, чтобы у блочной системы все квадраты были различными,
приводит нас к одной известной головоломке, интенсивно исследовавшейся в первой половине XX века.
"Можно ли из попарно различных квадратов собрать какой-либо прямоугольник?".
В 1925 году польский математик З. Морон дал положительный ответ на этот вопрос.
Раздел 5.2 данного сайта содержит краткий исторический обзор проблемы,
элементы относящейся к ней теории, а также несколько игр по сборке композиции Морона.
Занимаясь решением этой, казалось бы, весьма экзотической головоломки, математики открыли интересную связь,
существующую между прямоугольниками, собранными из квадратов, и
электрическими сетями. А именно:
выяснилось, что блочные системы могут рассматриваться как
"коды" вполне определенных графов и электрических сетей.
Эта тема освещается в
Разделе 5.3.
Визуализацию многочисленных конструкций из теории графов и
электрических сетей можно осуществить в "Креаторе блочных систем",
представленном в
Разделе 5.4.