Картинки из квадратов \

5. Прямоугольники, собранные из квадратов

Начало см. здесь.
 

Математика владеет не только истиной, но и наивысшей красотой — красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим произведениям искусства.

Б. Рассел
5.1. Блочные системы, ассоциированные с алгоритмом Евклида
5.2. Случай, когда все квадраты попарно различны     5.3. Блочные системы и сети
5.4. Креатор блочных систем
В моих программах рисования из разноцветных квадратиков можно выкладывать различного рода "реалистические" изображения (с образцами которых можно ознакомиться в галерее работ). А что произойдет в том случае, если начать выкладывать из квадратов какие-либо абстрактные композиции (например, собирать из них прямоугольники)?
При развитии этой последней мысли я вдохновлялся, в первую очередь, идеями Малевича о построении на основе "квадратной первоформы" некоторой иерархии так называемых архитектонов (правда, в отличие от Малевича я хотел бы ограничиться плоскостью и не выходить в пространство). Что же должны были означать эти сложенные из квадратов прямоугольники-архитектоны (которые далее мы будем называть еще "блочными системами")?
Мне хотелось бы, чтобы они визуализировали "первосущее" (т. е., согласно Пифагору, природу чисел и пропорций). В этом случае про них действительно можно было бы сказать, что они являются "красивыми" (во всяком случае, с точки зрения античных представлений о прекрасном). Ведь, как известно, в античности и далее в раннем средневековье число почиталось в качестве основы высшей красоты, так что приведенная выше цитата Б. Рассела была бы в то время просто тавтологией.
Собранные из квадратов прямоугольники будут называться еще "блочными системами" (пример одной из них изображен слева).
Мы будем пытаться интерпретировать подобные системы как некоторые "двумерные архитектоны" (в духе Малевича).
Блоки, составляющие эти системы (т. е. отдельные квадраты), будут иногда закрашиваться в какие-либо цвета или же в центр блока будет помещаться число, обозначающее размер блока, выраженный в некоторых условных единицах (у. е.).
Теперь осталось только открыть принцип, по которому должны складываться "двумерные архитектоны", чтобы они на самом деле визуализировали "природу числа". Лично я увидел такой принцип в алгоритме Евклида, который был в свое время чем-то вроде "станового хребта" античной арифметики.
С алгоритмом Евклида можно естественно ассоциировать блочные системы, которые подробно рассматриваются в Разделе 5.1. После определенной доработки этих систем, осуществленной в Разделе 7, они оказываются вполне в состоянии претендовать на роль "живописных чисел" (по аналогии с числами "музыкальными", которые слышал в музыке св. Августин).

Можно показать, что блочные системы, ассоциированные с алгоритмом Евклида, содержат, по крайней мере, два одинаковых квадрата. Требование же, чтобы у блочной системы все квадраты были различными, приводит нас к одной известной головоломке, интенсивно исследовавшейся в первой половине XX века.
"Можно ли из попарно различных квадратов собрать какой-либо прямоугольник?". В 1925 году польский математик З. Морон дал положительный ответ на этот вопрос. Раздел 5.2 данного сайта содержит краткий исторический обзор проблемы, элементы относящейся к ней теории, а также несколько игр по сборке композиции Морона.
Занимаясь решением этой, казалось бы, весьма экзотической головоломки, математики открыли интересную связь, существующую между прямоугольниками, собранными из квадратов, и электрическими сетями. А именно: выяснилось, что блочные системы могут рассматриваться как "коды" вполне определенных графов и электрических сетей. Эта тема освещается в Разделе 5.3.
Визуализацию многочисленных конструкций из теории графов и электрических сетей можно осуществить в "Креаторе блочных систем", представленном в Разделе 5.4.
5.1. Блочные системы, ассоциированные с алгоритмом Евклида
5.2. Случай, когда все квадраты попарно различны     5.3. Блочные системы и сети
5.4. Креатор блочных систем
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \