Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Евклидовы прямоугольники \

7.1.2. Окончательное определение

7.1.2.1. Что значит "присоединение соответству-
ющего квадрата"?
7.1.2.2. Примеры евклидовых прямоугольников
  7.1.2.2.1. Высота 1 у. е.
  7.1.2.2.2. Высота 2 у. е.
  7.1.2.2.3. Высота 3 у. е.
  7.1.2.2.4. Высота 4 у. е.
  7.1.2.2.5. Высота 5 у. е.
 
  7.1.2.2.6. Высота 6 у. е.
  7.1.2.2.7. Высота 7 у. е.
  7.1.2.2.8. Высота 8 у. е.
  7.1.2.2.9. Высота 9 у. е.
  7.1.2.2.10. Высота 10 у. е.
7.1.2.3. Связь с обыкновенными дробями
7.1.2.4. Игры по сборке евклидовых прямоугольников
Окончательно мы определяем евклидовы прямоугольники как плоские фигуры, сложенные из квадратов в соответствии со следующим рекурсивным определением:
 
(i) каждый квадрат есть евклидов прямоугольник;
(ii) если x есть некоторый евклидов прямоугольник, то таковым же будет и прямоугольник, полученный из x посредством присоединения к нему соответствующего квадрата слева;
(iii) если x есть некоторый евклидов прямоугольник, то таковым же будет и прямоугольник, полученный из x посредством присоединения к нему соответствующего квадрата сверху.
Здесь изображены несколько фигур, удовлетворяющих приведенному определению. Большое количество других примеров евклидовых прямоугольников (расклассифицированных по высоте) содержится в Разделе 7.1.2.2.
В программах из Раздела 7.1.2.4 вы можете самостоятельно потренироваться в сборке евклидовых прямоугольников.
В Разделе 7.1.2.3 изложено, каким образом каждому евклидову прямоугольнику будет сопоставляться вполне определенная обыкновенная дробь.
С учетом материала из Раздела 5.1 легко понять, каким образом фигуры такого рода связаны с алгоритмом Евклида. Затем из факта этой связи можно вывести существование взаимно-однозначного соответствия между множеством всех обыкновенных дробей и множеством всех евклидовых прямоугольников. Это означает, что каждой обыкновенной дроби соответствует один и только один евклидов прямоугольник; и наоборот: каждому евклидову прямоугольнику соответствует одна и только одна обыкновенная дробь.
Следовательно, мы можем "закодировать" обыкновенные дроби евклидовыми прямоугольниками (визуальными объектами) и завершить, таким образом, одну половину работы по созданию "арифметики на квадратах". Другая половина этой работы (см. Раздел 7.2) будет завершена после того, как мы научим прямоугольники "ходить как дроби", т. е. вести себя аналогично обыкновенным дробям под действием соответствующих арифметических операций. Сделав это, мы уже на вполне законных основаниях сможем говорить в духе Гудстейна о евклидовых прямоугольниках как о своеобразных "спичках" или "кусочках угля", способных заменить обыкновенные дроби в игре под названием "арифметика".