В данном случае мы имеем следующую ситуацию. Имеется некоторый евклидов прямоугольник u, фундамент которого не является единичным квадратом. Требуется построить евклидов прямоугольник u', пропорциональный исходному прямоугольнику u и имеющий в качестве фундамента единичный квадрат.

Описанное сейчас построение является одним из основных элементарных построений, которые впоследствии будут использоваться при выполнении арифметических операций над евклидовыми прямоугольниками.

Как нетрудно показать, евклидовы прямоугольники с единичным квадратом в качестве фундамента соответствуют несократимым дробям. Поэтому арифметический смысл описанного построения заключается в том, что с его помощью визуально моделируется операция приведения некоторой сократимой дроби u = a/b
к несократимому виду.

В частности, изображенному выше прямоугольнику u соответствует дробь 9/15, а результирующему прямоугольнику u' — дробь 3/5. Очевидно, дробь 3/5 является несократимой дробью и она пропорциональна исходной сократимой дроби 9/15. Таким образом, в данном случае все работает, как надо.

Рассмотренное на данной странице элементарное построение мы будем называть далее редукцией евклидовых прямоугольников. Евклидовы же прямоугольники, фундамент которых является единичным квадратом, будут называться редуцированными. В рамках "арифметики на квадратах", которую мы пытаемся построить, именно редуцированные прямоугольники будут использоваться в качестве визуальных представителей положительных рациональных чисел.