Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \ Четыре корифея античной науки \ Пифагор \

7.3.1.1.1.7. Фигурные числа

Начало см. здесь.
При создании этой Страницы мною были использованы следующие источники:
Цейтен Г. Г.  История математики в древности и в средние века.
Редакция технико-исторической литературы, Москва Ленинград, 1938, сс. 39 — 42.
Б. Л. ван дер Варден.  Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.
Гос. издательство физико-математической литературы,
М.:, 1959, сс. 136 — 138.
Гайденко П. П.  Эволюция понятия науки.
Становление и развитие первых научных программ.
М.: "Наука", 1980, сс. 33 — 35; сс. 45 — 48.
 

У истоков греческой математики, вероятно, начиная еще с VI века до н. э., обнаруживается своеобразный способ рассмотрения, который можно охарактеризовать как полуарифметический — полугеометрический. Он состоит в использовании камешков одинаковой величины и формы (круглых и квадратных), которыми выкладывались фигуры.

O. Becker
Эти фигуры из камешков использовались, в частности, для представления отдельных чисел в теоретических исследованиях пифагорейцев. Такие визуальные представления позволяли наглядно выявить некоторые свойства чисел. Квадратными, например, назывались числа вида nn, а прямоугольными — числа вида (n + 1)n для некоторого натурального n. Таким образом, 4 = 22 будет квадратным числом, а 12 = 43  — прямоугольным.
Мы будем моделировать отдельные "камешки" посредством квадратиков с бордюрчиками (как в моих программах по сбору мозаик). Тогда прямоугольное число 12 и квадратное число 4 можно будет изобразить при помощи сложенных из квадратов фигур, как это показано на рисунке слева.
Для пифагорейцев подобные визуальные представления чисел были важны, в частности, потому, что позволяли очень наглядно установить связь между двумя их фундаментальными парами противоположностей: между противоположностью "нечет — чет" с одной стороны, и противоположностью "квадрат — прямоугольник" с другой стороны.
Действительно, имеют место следующие элементарные математические факты. Для любого натурального числа n, сумма первых n нечетных чисел равняется квадратному числу nn:
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = nn.
Аналогично, для любого натурального числа n, сумма первых n четных чисел равняется прямоугольному числу (n + 1)n:
2 + 4 + 6 + ... + 2n = (n + 1)n.
Приведенные формулы можно доказать методом математической индукции. Однако пифагорейцы им не пользовались, а заменяли шаги доказательства самоочевидными визуальными построениями, ведущую роль в которых играло понятие гномона. Гномоном (точнее, квадратным гномоном) они именовали фигуру, получаемую при операции образования большего квадратного числа из меньшего.
Операция образования большего квадратного числа из меньшего. Добавляемые при этой операции квадратики в совокупности образуют фигуру, называемую "квадратным гномоном".
Легко заметить, что последовательные квадратные гномоны соответствуют последовательности нечетных чисел, больших единицы (каждый гномон составлен из нечетного числа квадратов):
Таким образом, нечетные числа, большие единицы, визуально представлялись квадратными гномонами.
Описанную выше операцию получения большего квадратного числа из меньшего интерпретировали еще как операцию приложения к меньшему числу соответствующего гномона. Таким образом, любое квадратное число оказывалось возможным породить из единицы посредством последовательного приложения к ней соответствующих квадратных гномонов. В этом и заключалось чисто визуальное доказательство того, что каждое квадратное число является суммой некоторого начального отрезка ряда нечетных чисел.

Совершенно аналогично, прямоугольным гномоном пифагорейцы именовали фигуру, получаемую при операции образования большего прямоугольного числа из меньшего.
Операция образования большего прямоугольного числа из меньшего. Добавляемые при этой операции квадратики в совокупности образуют фигуру, называемую "прямоугольным гномоном".
Легко заметить, что последовательные прямоугольные гномоны соответствуют последовательности четных чисел, больших двойки (каждый гномон составлен из четного числа квадратов):
Таким образом, четные числа, большие двойки, визуально представлялись прямоугольными гномонами.
Описанную выше операцию получения большего прямоугольного числа из меньшего интерпретировали еще как операцию приложения к меньшему числу соответствующего гномона. Таким образом, любое прямоугольное число оказывалось возможным породить из двойки посредством последовательного приложения к ней соответствующих прямоугольных гномонов. В этом и заключалось чисто визуальное доказательство того, что каждое прямоугольное число является суммой некоторого начального отрезка ряда четных чисел.

Ассоциируя квадраты с квадратными числами, а прямоугольники — с прямоугольными, пифагорейцы утверждали, что квадрат состоит из нечета, а прямоугольник — из чета.
Это утверждение можно сделать особенно наглядным, если раскрасить различными цветами отдельные гномоны, входящие в фигурные числа.
В пифагорейской системе фундаментальных пар противоположностей один член каждой пары считался положительным, добрым, благоприятным, другой же имел противоположную окраску. Пифагорейцы считали квадрат более совершенной фигурой, чем прямоугольник, и поэтому относили его к положительному полюсу (а прямоугольник, соответственно, — к отрицательному).
Дальше они рассуждали следующим образом: раз нечетное связано с квадратным, то его тоже следует считать положительным, тогда как четное, связанное с прямоугольным, следует считать отрицательным. Такая оценочная квалификация нечетного и четного играла весьма существенную роль в их философии.
Однако гораздо более важным представляется то обстоятельство, что эти мистические числовые спекуляции способствовали, тем не менее, отысканию реальных, объективно существующих отношений между числами, т. е. способствовали становлению арифметики как теоретической науки (в отличие от гораздо более древней логистики).
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \ Четыре корифея античной науки \ Пифагор \