Промежуток времени, который мы теперь будем рассматривать, начинается с кончины Сократа, отравленного цикутой (399 до н. э.), и кончается, когда Александр Великий распространил семена эллинской культуры по всему древнему миру (333 до н. э.).

В политическом отношении это время было периодом упадка, но для философии и точных наук, — напротив, временем еще невиданного расцвета. В центре научной жизни стояла фигура Платона. Он руководил и воодушевлял научную работу как внутри, так и вне своей Академии.

Великие математики Теэтет и Евдокс и все другие, перечисленные в Каталоге Прокла, были друзьями Платона, его учителями в области математики и его учениками в области философии.

Его великий ученик Аристотель, учитель Александра Великого, провел двадцать лет жизни в чудной атмосфере Академии.

Почему же Платон придавал такое огромное значение взращиванию великой "Mathesis"? Почему требовал он от всех своих учеников, чтобы они основательно изучили математику, прежде чем он посвятит их в свою философию?

Ответ можно усмотреть уже из приведенного выше его отрывка относительно "идеального квадрата" и "идеальной диагонали": только математика может научить нас, что точно рассуждать можно лишь о вещах, которые не слышны и не видны, но существуют только в мышлении.

В "Государстве" он пишет: "При помощи математики очищается и получает новую жизненную силу орган души, в то время как другие занятия уничтожают его и лишают способности видеть, тогда как он значительно более ценен, чем тысяча очей, ибо только им одним может быть обнаружена истина".

Истина — это идеи. Только одни идеи, но не чувственно воспринимаемые вещи обладают подлинным бытием.

Можно иногда постигать идеи в моменты, ниспосланные свыше, как бы вспоминая о времени, когда душа пребывала вблизи Божества в царстве Истины; но сначала необходимо напряженным мышлением преодолеть заблуждения чувств.

Дорогой к этому является диалектика, и диалектический способ доказательства есть доказательство от противного.

Истина не может быть в противоречии с самой собой. Таким образом, если, исходя из некоторой предварительной гипотезы, мы приходим к противоречию, то эта гипотеза должна быть отброшена. И так, диалектически переходя от одной гипотезы к другой, преодолевают заблуждения, в которые мы впадаем, а это позволяет, наконец, свободно взглянуть на истину.

Таков метод, который постоянно применяется в подлинно диалектических диалогах, в которых не обучают, но ведут философские беседы.

Собеседник ставит на обсуждение какое-нибудь мнение; Сократ опровергает его. После этого изменяется точка зрения, формулировка делается более точной, и снова Сократ показывает, что эта формулировка также приводит к противоречию и поэтому не может быть сохранена.

Так дело идет и далее. Достигнуть положительного результата невозможно, но дискуссия все время подымается на более высокую ступень, все больше заблуждений отбрасывается и, наконец, иногда заходят так далеко, что истина может быть высказана в форме мифа.

Но это теперь уже не диалектика: по собственным словам Платона, диалектика есть точный метод доказательства, и в диалогах Платона никогда не встречается иного метода доказательства, кроме опровержения принятых гипотез.

Рейдемейстер в своей "Mathematik und Logik bei Platon" подчеркивает, что этот метод доказательства при помощи приведения к абсурду заимствован из математики.

Сам Платон неоднократно приводит доказательство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата как типичный пример математического рассуждения и при этом указывает, что как раз при помощи такого приведения к абсурду можно кое-что узнать о вещах самих по себе.

Чувственные вещи изменчивы и противоречивы, но истинное бытие, которое за ними скрывается, напротив, не может обладать двумя взаимно противоречивыми свойствами.

Таким образом, согласно Платону в математике учатся рассуждать о вещах самих по себе, подготавливая мышление к диалектике.

По его мнению, математические объекты стоят между видимыми вещами и идеями, а математическое мышление находится как бы посередине между "мнением" и философским проникновением. И поэтому Платон придавал такое исключительное значение математической подготовке.

В ранних диалогах Платона почти совсем нет математики. Человек, который познакомил Платона с точными науками, был уже несколько раз помянутый нами пифагореец Архит Тарентский.