Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \ Первый научный кризис: несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной \

7.3.1.10.2. Фантастическое открытие
(по Радемахеру - Теплицу)

Начало см. здесь.
Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры.
(опыты математического мышления)
М.: Гос. изд-во физико-математической литературы,
1962, сс. 29 — 35.
7.3.1.10.2.1. Первое доказательство     7.3.1.10.2.2. Второе доказательство
Измерение длин, площадей и объемов является, без сомнения, началом всякой геометрии.
Весьма просто измерить отрезок посредством некоторого другого отрезка в том случае, когда этот последний укладывается в первом целое число раз (Рис. 13).
Если же в результате откладывания меньшего отрезка на большем получается остаток (Рис. 14), то пробуют сначала, не составляет ли этот остаток 1/2, 1/3 или 2/3, или вообще какую-либо дробную часть меньшего отрезка, служащего здесь мерой длины.
Если такую дробь найти удается, то мы получаем, что хотя меньший отрезок и не укладывается целое число раз в большем, но зато в нем укладывается целое число раз некоторая доля меньшего отрезка.
Эта доля, укладывающаяся, очевидно, целое число раз в обоих данных отрезках, и представляет собой их "общую меру".

Самые ранние геометрические исследования, без сомнения, рассматривали такие "общие меры".
Если, например, начертить прямоугольник, у которого одна сторона равняется
3 см., а другая — 4 см., то, согласно теореме Пифагора, квадрат диагонали такого прямоугольника равен
32 + 42 = 9 + 16 = 25 см2.
И, поскольку сама диагональ равна 5 см.,
то (рис. 15) меньшая сторона прямоугольника и его диагональ имеют общей мерой отрезок в 1 см.
и отношение их длин равно отношению 3 : 5.

Естественно вместо этого прямоугольника взять квадрат и задаться вопросом об отыскании общей меры его стороны и диагонали.
При первых попытках откладывания, как показывает рис. 16, такой общей меры не обнаруживается; мы вынуждены прибегать к помощи все более и более мелких дробных долей.
Перед нами встает вопрос, найдется ли вообще когда-нибудь при достаточно мелком дроблении отрезков общая мера, или такой общей меры не существует вовсе, и отрезки, значит, должны быть признаны "несоизмеримыми".

В связи с этим возникает и общая проблема: можно ли делить отрезок безгранично на все более и более мелкие части, или этот процесс деления упирается в некоторую границу,
когда отрезок распадается на очень большое, но все же конечное число весьма малых "неделимых" — неразложимых далее частиц, обнаруживая, таким образом, "атомистическое строение"?
Мы знаем, что поколение греческих ученых, предшествующих Платону, в особенности Демокрит, учило, что материя построена атомистически.
Это, однако, совсем не то же самое, что атомистическое строение отрезка. Можно очень хорошо представить себе безгранично делимый отрезок, на котором материя распределена атомистически.
У нас имеется относящийся к тому же времени, т. е. к эпохе около 450 г. до н. э., фрагмент афинского философа Анаксагора, в котором утверждается, что отрезок делим неограниченно.
Если подобный отрывок из утерянного учебника или лекции вообще дошел до нас, то произошло это, надо думать, потому, что мы имеем здесь дело не со случайным высказыванием,
а с тезисом, который был знаменит в свое время, так как почитался оригинальным и возбуждал большие споры; в те времена человечество, по-видимому, впервые столкнулось с великой проблемой непрерывности.

Отсюда мы можем судить о том огромном впечатлении, которое должно было произвести более глубокое открытие, а именно, что сторона и диагональ квадрата несоизмеримы.
Дошедшие до нас сообщения приписывают это открытие пифагорейцам — южноиталийскому тайному союзу, о котором, впрочем, мы знаем очень мало достоверного.
Легенда говорит, что пифагореец, поведавший об этом открытии людям, поплатился за это гибелью при кораблекрушении.
Зато совершенно достоверным является свидетельство Платона: в своих "Законах" он рассказывает, какое сильное впечатление произвело на него это открытие, когда он уже в зрелые годы познакомился с ним.
Ниже мы приводим два различных доказательства этого открытия, оставляя в стороне очень интересный сам по себе исторический вопрос о том, какое из этих доказательств нужно считать более древним.
Второе приводится не только Евклидом, но уже и Аристотелем; первое во всяком случае выражено вполне в духе греческих методов; оно не выходит из круга идей
X книги Евклида и является, по-видимому, более ранним.
7.3.1.10.2.1. Первое доказательство     7.3.1.10.2.2. Второе доказательство
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \ Первый научный кризис: несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной \