Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \ Первый учебник по теории чисел \

7.3.1.8.1. Великий Антанаиресис

Начало см. здесь и здесь.
 
Для определения общей наибольшей меры двух взаимоизмеримых величин a и b греческая математика знает способ попеременного вычитания (antanairesis): меньшую величину, например, a, вычитают из большей, так что получаются две новые величины a и (b - a), затем снова меньшую вычитают из большей и т. д.
Если существует общая мера, то этот процесс неизбежно приведет к двум равным величинам c = d, каждая из которых и есть общая наибольшая мера. В VII книге "Начал" этот метод применяется для нахождения общего наибольшего делителя чисел, а в начале книги X — для произвольных величин, чтобы установить, имеется ли у них общая мера и если да, то какова она.
Однако, если применить этот способ к двум несоизмеримым величинам, то процесс становится бесконечным.
Б. Л. ван дер Варден
7.3.1.8.1.1. Оригинальный текст Евклида
7.3.1.8.1.2. "Квадратная идея" по поводу Антанаиресиса из книги Н. Н. Воробьева
Антанаиресис является одним из столпов античной математики. В той или иной степени его влияние ощущается практически во всех сколько-нибудь значимых математических конструкциях того времени. Например, в тех, которые были связаны с "первым научным кризисом". Но не только в них, конечно.
Более того, Антанаиресис представляет собой яркий пример того, что смогло выжить (в том смысле, как об этом пишут Кац - Улам). И не только смогло выжить, но и смогло "положить начало развитию наиболее плодотворных математических теорий". Например, теории цепных дробей.
Таким образом математическую конструкцию, примененную в самом первом предложении самого первого учебника по теории чисел, действительно можно в значительной степени считать основанием этой теории.

В своей "базовой" версии Антанаиресис формулируется для отрезков прямых
a и b  — т. е. для некоторых одномерных объектов. Однако способ мышления, принятый в "геометрической алгебре", позволяет рассмотреть для любых двух отрезков также и "заключенный между ними прямоугольник" (типичный пример подобных рассуждений можно найти в евклидовом Предложении II, 11, посвященном "золотому сечению").
После этого исходная задача часто может быть переформулирована в терминах манипуляций с прямоугольниками и квадратами — т. е. с некоторыми двумерными объектами. Следующий рисунок поясняет эту методологию конкретно для Антанаиресиса.
Сначала имеются два отрезка a и b, для которых нужно найти наибольшую общую меру. Один из отрезков (например, b) поворачиваем на 90 градусов и пристыковываем к отрезку a как показано на рисунке. Затем естественным образом дополняем полученную конфигурацию до прямоугольника со сторонами a и b.
Тогда самый первый шаг алгоритма Антанаиресис, о котором пишет в приведенной выше цитате Б. Л. ван дер Варден, можно промоделировать путем вписывания квадрата в построенный прямоугольник.
Полученный после вписывания квадрата "остаточный прямоугольник" представляет новую пару величин a и (b - a), к которой применяется следующий шаг алгоритма и т. д.

Впервые я познакомился с этой идеей в книге Н. Н. Воробьева, после чего запрограммировал "визуализатор Антанаиресиса". Интересно отметить, что в такой "квадратной" трактовке Антанаиресис оказывается тесно связанным с квадратными уравнениями "гиперболического типа" (по античной классификации).
Еще одной яркой геометрической метафорой для алгоритма Антанаиресис является "звездное небо" в изложении Феликса Клейна. На самом деле обе эти метафоры (с прямоугольником, разбиваемым на квадраты, и с "небом") тесным и плодотворным образом связаны друг с другом, как будет показано далее.

Следует отметить также, что в античности существовали и другие методы отыскания наибольшей общей меры двух величин, отличные от Антанаиресиса. Описание одного из таких методов приведено в самом начале статьи Радемахера - Теплица о "фантастическом открытии".
7.3.1.8.1.1. Оригинальный текст Евклида
7.3.1.8.1.2. "Квадратная идея" по поводу Антанаиресиса из книги Н. Н. Воробьева
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \ Первый учебник по теории чисел \