Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Музыка \ Философия и арифметика музыки \ Пифагорейское учение о гармонии (3) \

7.3.2.1.4.6. Учение о трех средних
и гаммы Архита ©

7.3.2.1.4.6.1. Дополнительные сведения об арифметической и гармонической средних (1)
7.3.2.1.4.6.2. Дополнительные сведения об арифметической и гармонической средних (2)
7.3.2.1.4.6.3. Кодировка струн лиры и калькулятор для дробей
Основы античного учения о трех средних следующим образом изложены в известном фрагменте Архита:
"В музыке существуют три средних: во-первых, арифметическая, во-вторых, геометрическая, в-третьих, обратная, которую называют гармонической.
Арифметическая — когда три члена, находящиеся между собой в отношении, обнаруживают разности такого рода: на сколько первый член превышает второй, на столько же и второй член будет превышать третий. В этой пропорции интервал между большими членами будет меньше, а между меньшими — больше.
Геометрическая — когда первый член находится ко второму в том же самом отношении, как второй к третьему. Оба больших члена заключают тот же самый интервал, что и меньшие.
Наконец, обратная средняя, которую мы называем гармонической, когда члены находятся в таком отношении: первый превосходит второй на такую же свою часть, на какую часть третьего члена будет его превышать средний. В этой пропорции интервал между большими членами будет больше, а между меньшими — меньше."

По мнению филологов, фрагмент этот, несомненно, подлинный. Он представляет древнейший сохранившийся греческий математический текст и как таковой достоин уважения.
Но так как недавно Рейдемейстер хотел усомниться в его подлинности, то мы используем этот текст не для доказательства, но для введения. То, что выраженные в нем основные понятия и предложения принадлежат Архиту и играют важную роль в его теории музыки, будет показано иным путем, независимо от подлинности фрагмента.
Итак, определения трех классических средних:
M (арифметической), G (геометрической), H (гармонической) для членов A и B дают:
A - M = M - B,
A : G = G : B,
(A - H) : A = (H - B) : B.
Вопрос о существовании геометрической средней, по существу, сводится к тому, можно ли отношение A : B или — на языке музыки — интервал между A и B "разделить пополам", т. е. разложить на два одинаковых отношения или частных интервала. В разделе 2 мы уже видели, как важны были эти вопросы для теории музыки Архита.
Теперь остается задать вопрос, какое значение в теории музыки имели арифметическая и гармоническая средние. На это вполне достаточные ответы дают нам Платон (в "Тимее"), Аристотель (у Плутарха), Никомах, Боэций и другие поздние авторы; они в один голос утверждают, что арифметическая и, прежде всего, гармоническая средние производят деление интервала на неравные частные интервалы.
При этом полученные частные интервалы будут для обеих средних те же самые, но только в обратной последовательности; действительно, имеют место пропорции
A : H = M : B    и    A : M = H : B.
Ямвлих и Никомах называют эти пропорции "совершеннейшими". Ямвлих сообщает, что они были открыты вавилонянами и перенесены в Грецию Пифагором. Их использовали многие пифагорейцы, например Аристей из Кротона, Тимей из Локр, Филолай и Архит.
Классический пример, имеющийся у всех названных авторов, представляет деление октавы. Числа 12 и 6 находятся в отношении 2 : 1, их арифметическая средняя равна 9, а гармоническая 8; обе они производят деление октавы на кварту и квинту, или соответственно на квинту и кварту
12 : 9 = 8 : 6 = 4 : 3;
12 : 8 = 9 : 6 = 3 : 2.

Дадим в переводе объясняющий это деление отрывок из Аристотеля (Plutarque, De la musique, изд. Weil — Reinach, стр. 92 — 97). Этот фрагмент заимствован, по-видимому, из юношеского произведения Аристотеля, может быть (как думают Bussemaker и Rose), из диалога "Евдем, о душе". Существует русский перевод: Плутарх, О музыке, Петроград, 1922.
Отрывок дает нам ясное освещение того, каким образом излагалась в 4-м веке до н. э. пифагорейская теория музыки.
Мы оставляем в стороне все пояснения Плутарха, а также испорченное место (240), следующее же за ним предложение (241) ставим после (243) для того, чтобы (242) непосредственно примыкало к (239), как этого требует логика. Тогда весь отрывок в целом приобретает совершенно ясный смысл:
"(227) Гамма небесна: она имеет божественную, величавую, чудесную природу.
(228) Она складывается из четырех членов и дает две средние: арифметическую и гармоническую.
(229) Величины и избытки ее членов являются <определенными одна по отношению к другой> согласно числу и геометрии;
(230) ибо она разделяется на два тетрахорда.
(231) Это его собственные слова.
(232) Затем он излагает, что тело гаммы состоит из неравных, но созвучно один другому определенных членов, и что два средних члена образуют с крайними аккорды <по гармонической и> по арифметической пропорции.
(237) Крайние члены гаммы превосходят средние и превышаются ими на одинаковые избытки, будет ли это соответственно числу, или же в геометрической пропорции.
(239) С одной стороны, Нета превышает Месу на свою собственную треть, а Гипата на такую же часть превышается Месой (при этом нужно иметь в виду следующие числовые значения для струн: Нета 12, Парамеса 9, Меса 8, Гипата 6 — прим. редактора).
(242) Это и есть гармоническая пропорция.
(243) С другой стороны, избыток Неты на Парамесой по арифметическому отношению равен 3, т. е. избытку Парамесы над Гипатой.
(241) Крайние члены превышают Месу и Парамесу и превышаются ими в одинаковых отношениях, именно 4/3 и 3/2.
(246) Вот так образована она (гамма) со всеми своими частями согласно природе, именно из четного, нечетного и четно-нечетного."

Позднее Эратосфен применил тот же самый принцип деления не только к октаве, но также и к другим интервалам.
Так, малый тон 10:9 в хроматической тональности он делит на 20:19 и 19:18; в энгармонической тональности — полутон 20:19 делит на 40:39 и 39:38.
Замечательно при этом, что меньший интервал всегда заключается между более низкими тонами.

Если большее из обоих чисел А и В мы приведем в соответствие с более высоким тоном, как это соответствует физическим основным воззрениям Архита и Евдокса, то арифметическая средняя производит такое деление, в котором более высокие тона заключают меньший частный интервал, а более низкие — больший.
При гармонической средней получается обратное.
Отсюда ясно, почему было необходимо введение гармонической средней. Более простая арифметическая средняя дала бы хотя и те же самые частные интервалы, но только в неподходящей последовательности.

Можно ли доказать, что Архит тоже применял гармоническую среднюю в таком же смысле?
Для этого мы должны сначала поближе рассмотреть интервалы гаммы Архита, как нам их передает Птолемей. Восемь тонов классической гаммы получили названия по имени восьми струн лиры:
Итак, гамма состоит из двух тетрахордов, обнимающих каждый интервал в одну кварту и разделенных интервалом в целый тон. Таким образом, вся гамма обнимает одну октаву.
Всем видам тональностей общи "постоянные тона" Гипата, Меса, Парамеса и Нета; им соответствуют уже названные числа 6, 8, 9, 12. Но внутри тетрахорда интервалы будут для каждого вида тональности различными.
Существует три вида тональностей: энгармоническая, хроматическая и диатоническая. Их интервалы, по Архиту, будут (в последовательности от высоких к низким):
энгармоническая —  (5:4),  (36:35),  (28:27);
хроматическая —  (32:27),  (243:224),  (28:27);
диатоническая —  (9:8),  (8:7),  (28:27);
В каждом из трех случаев произведения трех числовых отношений равны 4:3,
т. е. сумма трех частных интервалов всегда равна одной кварте.
Очень легко определить самые высокие частные интервалы всех трех тональностей: 5:4 соответствует чистой большой терции, 9:8 — целому тону, разности между квинтой и квартой, а 32:27 представляет разность между квартой и целым тоном.
Таким образом, если мы в качестве тетрахорда берем тетрахорд средних, то энгармонический Лиханос составляет с Месой большую терцию, хроматический Лиханос с Парамесой — чистую кварту, наконец, диатонический Лиханос дает чистую квинту с Паранетой, а последняя — чистую кварту с Месой.

На первый взгляд еще более замечательным кажется общий всем тональностям интервал 28:27. Для объяснения этого представим себе под Гипатой еще "Сверхгипату" на расстоянии целого тона; она образует с Паргипатой "уменьшенную малую терцию"
(9:8)(28:27) = 7:6,
которая звучит выразительно, приятно и сравнительно часто встречается в энгармоническом фрагменте Эврипидова "Ореста".
Если же мы имеем дело с тетрахордом разделенных, то роль упомянутой выше Сверхгипаты выпадает на долю Месы, которая с Тритой diezeugmenon образует тот же самый интервал 7:6.

Тем самым доказывается, что наряду с октавой, квинтой и квартой основными интервалами у Архита будут также большая терция (5:4) и уменьшенная малая терция (7:6).
Кроме того, можно еще указать дополнительные в некотором смысле интервалы (6:5) и (8:7), последний встречается в диатонической тональности, а первый — в энгармонической — от Месы до Паранеты.
Таннери выставил следующую гипотезу: Архит получил квинту и кварту в результате деления октавы при помощи арифметической или гармонической средней, а интервалы (4:5), (5:6), (6:7) и (7:8) — в результате деления кварты и квинты по тому же самому рецепту.
Если мы, начиная от Месы, возьмем вниз квинту, а вверх — кварту, то деление квинты при помощи гармонической средней дает как раз архитов энгармонический Лиханос, а такое же деление кварты — общую все видам Триту diezeugmenon.
7.3.2.1.4.6.1. Дополнительные сведения об арифметической и гармонической средних (1)
7.3.2.1.4.6.2. Дополнительные сведения об арифметической и гармонической средних (2)
7.3.2.1.4.6.3. Кодировка струн лиры и калькулятор для дробей
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Музыка \ Философия и арифметика музыки \ Пифагорейское учение о гармонии (3) \