Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Музыка \ Философия и арифметика музыки \ Пифагорейское учение о гармонии (3) \ Учение о трех средних и гаммы Архита \

7.3.2.1.4.6.1. Дополнительные сведения
об арифметической и гармонической средних

Начало см. здесь.
Ямвлих во "Введении в никомахову арифметику" говорит, что Пифагор нашел "золотую пропорцию"
A : H = M : B,
где H и M суть гармоническая и арифметическая средние между величинами A и B, и что этому он научился у вавилонян.
Эта пропорциональность играет большую роль в пифагорейской теории музыки. Обе средние в современном обозначении могут быть представлены в виде
M = (A + B)/2 ,    H = 2AB/(A + B)
или (в обозначениях классической древности)
M - A = B - M ,    (H - A) : A = (B - H) : B.
Примем ли мы то или другое определение, мы легко докажем справедливость "золотой пропорции".

Следующая выдержка — из Б. Л. ван дер Варден.  Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Гос. издательство физико-математической литературы, М., 1959, с. 130:
Следует отметить, что операции гармонического и арифметического средних очень активно использовались при построении различных античных звукорядов.

Следующая информация от Д. Д. Мордухай-Болтовского:
Арифметическая M и гармоническая H средние между величинами A и B определяются следующим образом:
M - A = B - M,
(H - A) : A = (B - H) : B.
В пифагорейском мировоззрении, видевшем сущность вещей в числах, последней пропорции придавалось особенно много значения. Ее находили в музыке: A, H, B являлись длинами струн, отвечающих тонам do, mi, sol, образующим гармонический аккорд (откуда происходит и само название).
Ее старались уловить при изучении правильных (платоновых) тел, а именно отметили, что в кубе числа 6 граней, 8 вершин и 12 ребер образуют как раз гармоническую пропорцию. Согласно Никомаху, Филолай вследствие этого свойства называл куб геометрической гармонией.
Комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского к книге:
Евклид.  Начала Евклида (книги VII — X).
Гос. издательство технико-теоретической литературы,
Москва, Ленинград, 1949, сс. 334 — 335.

Много интересной информации об использовании трех средних (арифметической, гармонической и геометрической) при конструировании различных античных звукорядов приведено на странице:
Means, Meaning, and Music: Pythagoras, Archytas, and Plato