|
7.3.2.1.4.6.1. Дополнительные сведения
об арифметической и гармонической средних
|
|
Ямвлих во "Введении в никомахову арифметику" говорит, что
Пифагор нашел
"золотую пропорцию"
A : H = M : B,
где H и M суть гармоническая и арифметическая
средние между величинами A и B, и что этому он научился у
вавилонян.
Эта пропорциональность играет большую роль в пифагорейской теории музыки.
Обе средние в современном обозначении могут быть представлены в виде
M = (A + B)/2 , H = 2AB/(A + B)
или (в обозначениях классической древности)
M - A = B - M , (H - A) : A = (B - H) : B.
Примем ли мы то или другое определение, мы легко докажем справедливость
"золотой пропорции".
Следующая выдержка — из Б. Л. ван дер Варден.
Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.
Гос. издательство физико-математической литературы,
М., 1959, с. 130:
Следует отметить, что операции гармонического и арифметического средних очень активно использовались при построении
различных античных звукорядов.
Следующая информация от Д. Д. Мордухай-Болтовского:
Арифметическая M и гармоническая H
средние между величинами A и B определяются следующим образом:
M - A = B - M,
(H - A) : A = (B - H) : B.
В пифагорейском мировоззрении,
видевшем сущность вещей в числах,
последней пропорции придавалось особенно много значения.
Ее находили в музыке:
A, H, B являлись длинами струн, отвечающих тонам
do, mi, sol, образующим
гармонический аккорд
(откуда происходит и само название).
Ее старались уловить при изучении правильных (платоновых) тел, а именно отметили, что в кубе
числа 6 граней, 8 вершин и 12 ребер образуют как раз гармоническую пропорцию.
Согласно Никомаху, Филолай вследствие этого свойства называл куб
геометрической гармонией.
Комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского к книге:
Евклид.
Начала Евклида (книги VII — X).
Гос. издательство технико-теоретической литературы,
Москва, Ленинград, 1949, сс. 334 — 335.
Много интересной информации об использовании трех средних (арифметической, гармонической и геометрической) при конструировании различных античных звукорядов приведено на странице:
