Общий обзор всего развития

В книге: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.

На основании вышеприведенных исследований мы получаем следующую картину развития пифагорейской теории музыки.

(i) Исходя из упомянутых в Разделе 7.3.4.1.4.3 повседневных наблюдений о влиянии на высоту тона натяжения, длины струны или звучащего столба воздуха, а может быть также и под влиянием вавилонских теорий, Пифагор пришел к мысли о сопоставлении тонов с числами, а консонансов — с числовыми отношениями.

В частности, октаве, квинте и кварте были приведены в соответствие содержащиеся в тетраде отношения 2:1, 3:2, и 4:3. На основании этого он смог четырем постоянным струнам лиры приписать числа 6, 8, 9, 12 и вычислить интервалы (9:8, 9:8 и 256:243) диатонической гаммы (о диатонической гамме см. также здесь).

(ii) Гиппас в числе 8 признал гармоническую среднюю между 6 и 12. К трем консонансам Пифагора он добавил двойную октаву (4:1) и дуодециму (3:1). Вследствие его научной позиции необходимо возникло противоречие с ортодоксально мыслящими пифагорейцами, которое привело к расколу. В это время с пифагорейцами познакомился знаменитый музыкант Лас и проверил числовые отношения консонансов на опытах с пустыми и наполовину полными сосудами.

(iii) В школе пифагорейцев, называвших себя "математиками", была продолжена и развита далее обоснованная Пифагором и Гиппасом теория музыки. С точки зрения чистой теории она была обоснована при помощи следующих постулатов:

Интервалы измерялись взаимно при помощи "попеременного деления"; таким образом были получены большой и малый полутона и пифагорейская комма.

Относительно энгармонической тональности не было еще ничего готово до Архита, так как не удавалось леймму 256:243 разделить на две равные части; для этого достаточно лишь обратить внимание на бесплодные попытки во фрагментах Филолая.

Приписанные тонам числа с физической стороны толковали иногда как напряжения и более высокому тону относили и более высокое число (такое соответствие встречается чаще всего, например, у Аристотеля и Никомаха); иногда же их толковали и как длины струн или духовых инструментов, так что более высокому тону соответствовало меньшее число (Платон, Эратосфен).

(iv) Архит не удовлетворился таким колеблющимся между грузами и длинами толкованием, поскольку оно не затрагивает сущности тонов; ведь каждый тон может быть получен на струнах различной длины и натяжения. Для него сущность тонов заключается в движении, а высота тона зависит от скорости движения.

Он, вероятно, представлял себе это движение как перемещение воздуха от звучащего тела к уху; в связи с этим он принимал, что более высокому тону соответствует и более высокая скорость распространения. При помощи хитроумных теоретико-числовых заключений он делает попытку последний из вышеприведенных постулатов доказать на основании трех первых. Однако это доказательство, изложенное в "Sectio canonis", содержит ошибочное заключение.

Архит доказал также неделимость целого тона и производил дальнейшее построение теории о трех средних. Разделив квинту при помощи гармонической средней на большую и малую терции, а кварту таким же образом на интервалы 8:7 и 7:6, он получил основные интервалы энгармонической, хроматической и диатонической тональностей. Птолемей с полным правом называет его самым выдающимся из пифагорейских теоретиков музыки.

(v) Евдокс развивает дальше теорию Архита. Молодой Аристотель дает популярное изложение основ пифагорейской теории музыки. Платон использует числовые отношения консонансов вместе с арифметической и гармонической средними для построения "гаммы душ" в "Тимее".

(vi) Гераклид Понтийский, завершитель пифагорейской теории музыки, развивает мысль, что тон представляет совокупность множества отдельных ударов воздуха, которые следуют друг за другом через неощутимо малые промежутки, и что высота тона обусловливается более быстрой последовательностью воздушных ударов.

Теофраст и Аристоксен с силой восстают против этого воззрения: для них высота тона определяется не как "сколько", а "как получилось"; однако эту теорию принимают "Sectio canonis", "Проблемы теории музыки" и "De audibilibus" (все около 300 до н. э.). На основании этой теории ударов вполне удовлетворительно объясняется явление консонанса.

(vii) Для эмпирической проверки числовых отношений консонансов и опровержения Аристоксена "каноники" производят опыты с монохордом. Они снова отбрасывают "новейшие" гаммы Архита и в согласии с Платоном возвращаются к старой диатонической гамме с чистыми квинтами и квартами. Один из них добавляет два последних предложения в "Sectio canonis".

(viii) Эратосфен принимает эту диатоническую гамму. Для двух других видов тональностей он вычисляет новые интервалы, в изобилии применяя арифметическую и гармоническую средние. Он отказывается от чистой большой терции энгармонической тональности Архита; при этом он вводит в хроматическую тональность чистую малую терцию.

(ix) Дидим улучшает канон и опять вычисляет новые гаммы. Его диатоническая тональность очень близко подходит к новейшей чистой мажорной гамме.

(x) Завершением этого развития является сохранившаяся до нас теория гармонии Птолемея.