Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Музыка \ Философия и арифметика музыки \

7.3.2.1.7. Рациональность и аффект ©

О соотношении математического обоснования и психологического воздействия музыки
1. Музыка как звучащее тождество рациональных порядков и возможность обоснования аффектов в пропорции
"... чтобы живопись могла развивать такие же силы, какими обладает музыка", эта мечта Кандинского сбылась в 1910 году, когда в своих картинах он отказался от копирования вещественного мира и перешел к чистому изображению гармонии форм и красок.
Названия его картин: композиция, ритм, импровизация, концерт и фуга — указывают на музыкальные, хотя и не акустические представления.
Абстрактная живопись является порождением движения, начавшегося примерно в 1800 году, его целью была музыкализация изобразительного искусства и поэзии; это движение ототвинуло на второй план специфику отдельных жанров искусств ради общих структурных свойств, позволивших провести аналогию с музыкальными явлениями.
"Звук за звуком", таково название стихотворения Йозефа фон Эйхендорфа; Штефану Георгу казалось, будто он сочиняет стихи как музыку, при этом он утверждал, что ценность поэзии определяется лишь формой того волнующего, что заключено в размере и звуке.
Предпосылкой для возможного обобщения музыки явилась высказанная однажды Карлом Филиппом Моритцем идея, что искусство представляет космос и поэтому является автономным. Но, с другой стороны, на это скорее может претендовать лишь самый абстрактный всех жанров искусств — музыка, которую можно понимать как звучащее тождество вечной гармонии.
"Музыкальные соотношения являются собственно основными соотношениями в природе". Эта точка зрения Новалиса полностью совпала с лекциями Шеллинга по философии и искусству (1802-1803 гг.), где он утверждал: "В солнечной системе также отражается вся система музыки".

Музыка как проявление высших логических порядков — это абстрактное понятие музыки в 1800 г. было новым; но в то же время такое толкование вероятно было отражением древних представлений о музыке, и в качестве подтверждения этого можно привести начало "Фауста" Гёте или другие ссылки романтиков на понятие небесных звуков.
В связи с вопросом о соотношении рациональности и аффекта не столь важно уточнять исторические корни этого понятия музыки, сколько проверить совпадение с другими точками зрения, что может показать в некоторой степени ту сложную изменчивость, которая делает музыку, с одной стороны, абстрактно-логично действующим, а с другой стороны, самым эмоциональным видом искусства.
Эмфатическое понимание соотношений в музыке как абстрактного системного строя, являющегося отображением основных соотношений в мире, встречается также в древности и в средние века.
Абстрактным было понимание музыки в духе Пифагора и Платона, ведь оно подразумевало именно математическое описание.
Казалось, что лежащая в основе музыки система регулируется числовым порядком, причем простые числовые соотношения занимали особое место. Они не только регулировали образование тетрахордов и тональностей, но и скорее представляли собой всеподчиняющий метафизический принцип, который позволял проводить любые аналогии.
Попытку описать движение планет, принимая во внимание музыкальные пропорции, как это пытался сделать еще Кеплер в 1610 г., следует отнести к античным временам, хотя уже Аристотель оспаривал, что небесная музыка по-настоящему звучит.
Обоснование музыки с помощью числа в средние века, когда умение Пифагора продолжал развивать в основном Боэций, возвело занятие музыкой в абстракцию, так как реально звучащая музыка считалась неинтересной, но наряду с этим признавалась возможность научного подхода к понятию ее сущности.
Практически заниматься музыкой, как и столярным ремеслом, считалось ars faciendi, т.е. этим искусством мог овладеть каждый, освоивший сумму тезисов.
Музыка, одно из семи видов искусств, входила в квадривиум наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством.
Она представляла Содержание, доступное лишь уму, т.е. связанное с чисто умственной деятельностью, и в отличие от арифметики охватывала не устойчивые, а подвижные числовые отношения.
Искусственное в музыке проявлялось в методе вычислений (например, определение консонанса). И на основе того, что музыке можно было найти чисто теоретическое математическое определение, она представлялась вплетенной во всю Вселенную.
"Musica instrumentalis" — непосредственно звучащая музыка, была отображением "musica mundana" — гармонии мира, а "musica humana" — упорядоченных пропорций человеческого тела.
"Музыкальные соотношения казались действительно основными соотношениями в мире". Созерцательное погружение в математическую структуру звуковой системы привело к небесной механике.
Число как уточняющий инструмент вновь приобрело значение в эстетических воззрениях XX в. С помощью него новая музыка могла реализовать возросшее требование рациональности, которое могло стать нормой отношений вообще. Додекафонические произведения, где математические действия использовались для построения созвучной интегральной композиции, возникли из желания создать путем логических расчетов порядок в хаотичном мире.
Подведем итог: идея системного порядка, в которой сравниваются музыкальные отношения гармонии с земными, все вновь и вновь появляется в эстетических воззрениях.
И в очень разных, отдаленных большими промежутками времени культурных связях, пытались выразить эти гармонии постоянными числами с целью показать, что логика математики объясняет логику мира и в том числе музыки.
Такие математические обоснования возводятся в ранг метафизической инстанции. В звуковой форме музыкальной пьесы также находит свое выражение этот принцип.
Та мысль, что музыка является воплощением логического порядка, не всегда подразумевала ее музыкально-слуховое воздействие. Скорее проявляются очень принципиальные различия: с одной стороны, было ли вообще стремление к эмоциональному воздействию, и, с другой стороны, в какой степени обоснование волнующего воздействия музыки было возможно с помощью логических структур.

Так как в древние времена и в средние века предполагали, что человеческие органы подчиняются тем же принципам, что и музыка, было легко развить теорию о воздействиях, которая очень точно определяла структуру аффекта, например в сфере тональности, в зависимости от пропорций.
Важность этой теории подтверждается дискуссией о выразительности тональностей в тональной музыке. И так как числа понимались не как математический, а как метафизический принцип, их можно было считать предваряющими эмоциональное воздействие.
Однако по мере того как такие убеждения ослабевали, musica humana и istrumentalis уже не соотносили с musica mundana, отождествление пропорций и эмоционального воздействия стало проблематичным до такой степени, что в XX в. музыка в своих эстетических намерениях дошла до чистого расчета и не могла уже ни выражать аффекта, ни вызывать его.
И именно музыка, которая оказывала самые интенсивные эмоциональные воздействия, музыка XIX в., хотя еще и рассматривалась как система совершенных отношений, однако эта система уже больше не объясняла психологического воздействия, а наоборот, ее обоснованием служили психологические данные.
Музыка периода классицизма и романтизма уже почти не могла объяснить логическое действие взаимосвязей простыми математическими пропорциями. Даже трезвучие в темперированной системе, явившееся предпосылкой для развития иструментальной музыки, считалось очень смелой заявкой.
Характер этой музыки как тождества рационального порядка определялся чувством хорошо взвешенной гармонии и симметрическими группировками, т.е. в отличие от античных смен рациональность звуковой системы обосновывалась аффектом.
Музыкальная логика — Иоганн Николаус Форкель использовал в 1788 г. это выражение впервые — предстает как осмысление взаимосвязей и отношений. А сложные отношения, которые воспринимались в то же время как выражение совершенного порядка — и в этом превосходили все придуманные людьми абстрактные системы, — представляли музыку как метафору вселенной.
Музыкальная звуковая система не могла быть порождением какой-либо другой, в том числе и математической системы, а наоборот, другие системы были заимствованы у музыки.
Утрируя, можно сказать, что не музыка, дающая впечатление абсолютного, нуждалась в обосновании, а спекуляции с теорией чисел, которые со своей стороны не подкреплялись больше метафизическим принципом.
И какие бы параллели ни проводились между абстрактным понятием музыки периода романтизма и более ранними и поздними периодами, с идеей абсолютной музыки исчез и принцип, который объяснял ее эмоциональное воздействие и ставил аффекты в зависимость от рациональности.

2. Попытки обоснования
математических пропорций в аффекте
Большие сомнения в простом тождестве аффекта и пропорции возникают уже в древние времена. В скрытом виде они встречаются также и в средние века.
Дерзко нарушая традицию простых числовых отношений, Тимофей ради большего воздействия добавил одну струну на своей кифаре. И хотя консервативные спартанцы ее якобы отрезали, это не помешало ему остаться в свидетельствах древних времен одним из самых выразительных музыкантов, почти как античный Давид. Его пение вдохновляло Александра Великого на битву, но, с другой стороны, укрощало нрав. К счастью, ничего не сообщается о злоупотреблении музыкой в политических целях.
В цикле рисунков, который датируется 1257 годом, Пифагор в квадривиуме представляет в основном лишь арифметику; госпожа музыка вкладывает свое искусство счета в руки Тимофея.
Это не значит, что спекуляции с числами в XIII в. уже не имели никакой силы, но они все больше требовали обоснования. Математику нужно было проверять.
В compendium musicae, написанном в 1618 году Декартом, подчеркивается эстетическое воздействие музыки, что впоследствии становится аксиомой, в том числе и для арифметических спекуляций.
Способность органов чувств испытывать удовольствие относится, по мнению Декарта, к предпосылкам, которые теория музыки должна взять за основу. Она должна учитывать, что форма может быть трудной и разнообразной в той мере, в какой это отвечает естественным желаниям органов чувств.
Затем следует теория композиции, которая предписывает соблюдать ритмическое равновесие и многое другое. Пока еще сохраняется соотношение приятных аффектов, простых чисел и симметричных конфигураций. Однако изображается это наоборот: неравным размерам не придается значение, потому что слух лишь с трудом воспринимает их различия.
И чтобы подкрепить это "потому что" как обоснование, Декарт добавляет "как учит опыт".
В XX веке были проведены многочисленные психологические эксперименты, в основном в области теории образов и информационной эстетики, которые должны были подтвердить то, чему "учит опыт".
И с самого начала следует сказать, что подытоженные результаты исследований, отвечающие на вопросы: какая степень сложности, какая эстетическая пропорция предмета воспринимается как уместная? — основываются, вероятно, на определенной способности органов чувств испытывать удовольствие; но нельзя, как думал Декарт, выводить из этого критерии для способа формообразования.

Были проведены эксперименты с целью показать, какие пропорции соответствуют наибольшим удовольствиям; для этого слушатели должны были дать оценку "красивый" или "некрасивый", или сделать выбор "это мне нравится".
Гораздо эффективней, чем подача простых и сложных мелодий, которые всегда кажутся простыми, является оценка геометрических цветовых образцов. Но она может служить показателем лишь при грубом обобщении, когда есть нечто вроде хороших и математически легко поддающихся описанию симметричных образцов (patterns), не слишком правильных, чтобы они не показались скучными, не слишком громоздких, чтобы они не производили впечатления хаотичных.
Если увязать результаты этих экспериментов с разработанной в 60-е годы теорией Берлина, которая устанавливает связь между активизацией организма и полнотой или новизной формы возбуждения, то меру удовольствия можно изобразить в зависимости от средней активизации, а не наоборот, как u-образную связь: т.е. максимальное удовольствие испытывают при среднем возбуждении, а значит, при средней степени сложности; если активизация при сложном восприятии повышается, то степень удовольствия .снижается, становится скучно, и активизирующее воздействие падает, т.е. удовольствие уже равно нулю.
Эта теория проста и понятна, что обеспечивает ей успех.
Однако при глубоком изучении представленных данных открывается много проблем. Так, степень сложности объективно почти невозможно определить. Объективно установленные связи охватывают всегда лишь частичные аспекты, но не целые соотношения.
На вопросы, вставленные в таких экспериментах, а именно: является ли живопись Кандинского сложнее, чем живопись Мондриана? — следует отвечать лишь переформулируя их, например, задавая вопрос: что люди воспринимают как сложное?
Однако тем самым на место объективно-характеризующей степени интереса становится субъективная оценка.
И видимо целесообразней ответить: мне нравится то, что я воспринимаю как относительно сложное, что не наводит скуку или не надоедает как хаос.
Субъективное суждение о том, что пропорциональное и гармоничное действует как приятное, воспринимается по-разному и не может служить обоснованием объективных данных.
Декарт заблуждался, полагая, что удовольствие соотносится со средней степенью трудности.
То, что люди воспринимают как простое или сложное, что им нравится или не нравится, зависит не только от оформления увиденного или услышанного, но и от общественного контекста, первоначального образования и целостности структуры личности. Такие факторы, как открытость, отсутствие преобладающих признаков, чувствительность или боязливость, играют важную роль при эстетических оценках.

Тезис о зависимости эмоционального восприятия от постижимости умом наверняка правильный; гарантом этого является его живучесть.
Но то, что уму представляется как по постижимое, может, но не должно обязательно подлежать точному описанию как правильное, симметричное, прямое или плоское.
Чрезвычайно неправильные эстетические структуры разум либо воспринимает целиком как порядок, не запрограммированный им заранее, либо из протеста воспринимает только те категории, которыми он уже владеет и может сконструировать некий смысл.
Субъективное определение того, что воспринимается как хорошо или плохо оформленное, не позволяет делать вывод о правильности системы или простоте структуры, указывающей на связь эстетического удовольствия с объективными порядками.
В нашей культуре со времен Декарта ценность пропорций определяется эмоциональным, аффективным впечатлением, но из чувственного восприятия нельзя вывести постулаты относительно господствующей в искусстве меры.
Даже то, что мы воспринимаем как соответствующее друг другу, симметричное, гармоничное, объективно не обязательно должно быть правильным.
Ария из "Волшебной флейты" вначале имеет крайне неправильное членение на такты: 2 плюс 2 плюс 1 плюс 1 плюс 1 плюс 3 плюс 3. Но кто же не воспринимает ее как нечто чрезвычайно упорядоченное?
Попытка установить какие-либо правила о мере удовольствия, кроме прочего, всегда связана с историческими условиями.
Такие правила большей частью уже утрачивают силу в процессе их формулирования.
Через историю музыкальной теории проходит особенно четко выраженная позиция тех или иных изобретателей музыкально-теоретической системы. Они большей частью не хотели признавать, что правила, которые они абстрагируют, уже давно отменены композиторской практикой. Хуго Риман относился с большим раздражением к одному своему одаренному ученику, а именно к Максу Регеру.

3. Произвольность математических спекуляций и их иное толкование в конструктивизме XX столетия
 
Ты должен понять! / Из единицы сделай десять! / Два отними! А три приравняй, / и будешь богатым! / Отдай четверку! / Из пяти и шести,/ так говорит ведьма, / сделай семь и восемь, / итак, готово! / И девять будет единицей, / и десяти нет.
Таблица умножения ведьмы
Хуго Риман, известнейший музыкальный теоретик XIX века, считал, что математики недостаточно для обоснования музыкальной системы. При этом он представлял себе нечто, подобное таблице умножения ведьмы из "Фауста" Гёте.
Риман высказал свое неприятие математики в связи с критикой музыкальной теории Эйлера, попытавшегося в 1739 году обосновать эстетический характер музыки через теорию чисел. При этом Эйлер исходил из понятия восприятия Лейбница, согласно которому душа бессознательно ведет счет даже тогда, когда необходимо принимать степень приятности.
Тем самым спекуляции, связанные с теорией чисел, предстают как изменения и уточнения эстетического восприятия, что, в свою очередь, является их обоснованием. Но то, что числа не могут служить достаточным обоснованием, проявляется в этой чрезвычайно сложной теории Эйлера, который также не смог решить проблему, существовавшую еще в древнейшие времена; он не смог доказать качественное отличие консонанса от диссонанса.
В XIX в. математические спекуляции относительно содержания музыкальных произведений отступили на задний план, так как стало ясно, что числами можно описать, но нельзя объяснить и даже невозможно обосновать сильные эмоциональные переживания, потрясения и благоговения, вызванные симфоническим концертом.
Объяснения совершенства музыки, как полагали теоретики, могут основываться лишь на принципах, стоящих за числами.
Но так как аксиомы, лежащие в основе чисел, не могли больше заменить небесную механику, то они почти уже потеряли значимость и не в состоянии были обосновать эстетические феномены.
Теоретики музыки XIX в. стремились, главным образом, доказать упорядоченность структур.
Их отношение к математическим спекуляциям было сдержанным, так как музыкальные пропорции представлялись в математических понятиях настолько запутанными и хаотичными, что все казалось возможным: "Из единицы сделай тройку!" Расчеты показывали идентичное как различное.
В функциональной гармонии значение аккорда определяет значение отдельного звука, поэтому математический расчет его чистоты не имеет большого значения.
Чтобы впечатление возвышенности и совершенства сделать болee ощутимым, привлекались другие дисциплины, и Риман, в первую очередь, обращался к феноменологической психологии.
Структуры классико-романтической музыки лишь в ограниченной степени раскрывались в числах. Однако числа часто показывали произвол там, где воспринимался порядок.

И в противоположность этому математические и стимулируемые математикой операции вновь приобрели значение в искусстве XX века.
Решающим и принципиальным отличием от некоторых математических расчетов, которыми измерялась музыка XIX века, является в XX веке использование чисел в эстетических интенциях. Благодаря им соразмерность приобретают расчеты и конструкции. Это не значит, что математические аксиомы становятся эстетическими предпосылками!
Скорее, художники иначе толкуют идею произвольности, которая, казалось, была присуща математическим спекуляциям вокруг музыки. Они находят в ней аспекты свободы. "Из пяти и шести сделай семь и восемь". Какие возможности открывались для превращений и изменений!
В искусстве XX века очень часто не принималось во внимание то, что уже было известно, а поощрялись лишь новые открытия. Конструирование новых значений предполагало преодоление зависимости от материальных условий. Таким освобождением явились логико-абстрактные категоpии, с помощью которых новый смысл излагался так, чтобы за его развитием можно было проследить и проконтролировать его.
Этот "конструктивизм", возникший в Европе незадолго до первой м ировой войны, в течение нескольких десятилетий охватывал различные художественные направления и для отдельных художников сохранил свою притягательность до наших дней. В приведенных далее формах, где мы встречаем этот конструктивизм, проявляются основные эстетические интенции, в частности и такие, которые отделяют искусство XX века от художественных форм прошлого.
Возросшее значение понятия рациональности, помимо этого, связывалось с ростом политических требований. Выставка, организованная в 1921 году в Москве под названием "Пятью пять = двадцать пять", также задумывалась как экспериментальная с целью изменить обыденное производство; то же самое можно сказать и о конструкциях, возникших в рамках нидерландского движения в искусстве "De Stijl".

Большая эпоха конструктивизма, о которой в 1923 году мечтал Мондриан — один из самых известных представителей направления "De Stijl", могла начаться лишь с появлением системы, свободной от субъективизма и пригодной для различнейших сфер жизни.
И для этого подходящей оказалась математика. "Чтобы создать новую вещь, нам нужен новый метод, объективная система". Тео ван Доесбург, автор манифестов движения "De Stijl", также представлял ее в форме арифметических примеров: - D + = R4 записано в одном из манифестов, может быть не cовсем так, как это записал бы математик.
Кроме того, Доесбург cчитал, что и повседневный окружающий мир должен строиться по новым абстрактным законам искусства.
Уравнение "искусство = жизнь" уже давно стало для деятелей искусств максимой. Не только в абстрактной живописи, которую Доесбург считал как раз конкретной, ориентировались на объективно-логические расчеты, но и музыканты пытались найти новые понятийно-концептуальные подходы.
Голландский музыкант и композитор Якоб ван Домзелер — из окружения Мондриана — пытался создать новые структуры, но они были настолько абстрактными и общими, что предназначались для искусства в целом, а не специально для музыки.
По записи нот "Proeven van Stijikunst" в сборнике его пьес для фортепиано 1913-1917 гг. видно, например, если они дают ромбовидное изображение, значит, навеяны были визуальными пропорциями.
Новыми являются соотношения этих пьес, например, когда 16 тактов, то есть обычная музыкальная группировка, делятся на группы по 3 такта с сокращающимися вставками между ними, или же 45 тактов делятся на 11 плюс 17 плюс 17 (или с ограничением фразы на 1 плюс 11 плюс 16 плюс 17) Домзелер прибегает к музыкальным образцам, к образцам барокко, к обработке хоралов или Ricercare.
Это превращает его композиции в нечто типичное. Пыл конструктивистов, в том числе и подражателей, относился особенно к музыке барокко, в ocнове которой еще лежали числовые спекуляции. В группе "Bauhaus", где воссоздавали будни людей, искали вечные всеобщие конструктивные принципы.
И по крайней мере частично — так полагал Гропиус — законы вечной гармонии можно найти в фугах Баха, записанных на миллиметровой бумаге, чтобы можно было изучить, а также визуально и оптически представить их пропорции. Для новых форм законы казались "предначертанными" в древней музыке.
Для нового обмера мира, к которому стремились конструктивисты, с одной стороны, поддерживалась идея о том, что новые системы можно будет устанавливать по принципу "из 1 сделай З". Но эмфатически подчеркнутую рациональность, приведшую в некотором смысле к математически сформулированным расчетам, пытались, с другой стороны, дополнить аксиомами, таившимися в искусстве, a не в логике.
Предпринимались попытки удовлетворить требование рациональности чем-то таким, что подобно фугам Баха заключало в себе порядок.
И если появляется чувство неудовлетворенности только логико-абстрактными категориями, то в этом реферате хотелось бы еще раз подчеркнуть мысль о том, что возникла необходимость субъективно обосновать математические спекуляции, поскольку они не имеют метафизической базы вероятно потому, что не совсем ясно, в какой конкретно области искусства 5х5= 25.

И хотя я с некоторым скепсисом отношусь к ассоциации слов "математически" и "обоснование", все же приведу примеры, которые помогут рассеять сомнения. Числам и в некотором роде математическим операциям деятели искусств вполне доверяли в XX веке, когда речь шла об установлении эстетических правил.
Потому они считали математические логические связи настолько важными, что из них могли возникать новые эстетические значения. И их оценка характера чисел правильна в том отношении, что они исходили из полной абстракции и нейтральности к предметам.
Потому они считали математические логические связи настолько важными, что из них могли возникать новые эстетические значения. И их оценка характера чисел правильна в том отношении, что они исходили из полной абстракции и нейтральности к предметам.
Числа использовались для достижения трансформаций. Жизнь Шопена, биографию, записанную словами, Герхард Рюм в 1983 году перевел на язык фортепианной пьесы; слоги с помощью числового ключа он превратил в звуки. Из этого структурного отображения получилась очень медитатативная пьеса, отдельные ее части странным образом намного яснее передают жизненное дыхание, чем главы биографии.
Такие новые концептуальные порядки могут порой означать экстремальную рационализацию, что можно сказать об операх "Рубеж 80" и "Четыре времени года" Ханны Дарбовен. Если число, подразумевающее дату в буквальном и переносном смысле, в результате арифметических действий, например, сложения цифр числа, преобразуется и конкретизируется отнесением к какому-то звуку, то оно одновременно становится абстрактным. Его нельзя преобразовать в обратном порядке. Один раз зафиксированное, а именно 1.1.1980, оно становится моментальным событием звука.

Переходы границ, связанные с символической силой чисел, по-прежнему представляют эстетическую программу, когда искусство либо становится метафорой глубоко заложенного порядка, .либо кажется вырванным из хаоса жизни.
Закон и порядок посреди хаоса связывал в 1965 г. музыкант Эммет Вильямс, сторонник американского движения "Fluxus", с фанатичной любовью к математике полагавший, что он о ней ничего не знает; однако она побудила его на сочинения с геометрическими прогрессиями, математическими перестановками букв, слогов, предложений и знаков.
В "Музыке", сочинении 1965 г., девять наиболее часто встречающихся слов из "Божественной комедии" Данте располагаются в алфавитном порядке. Самое часто встречающееся слово определяет число рядов, из которых такие слова постепенно выпадают; возникает литания с резкими ритмическими чередованиями. И в более поздних произведениях, например в "Indicental Music for Yo-Yo-Ma" 1979 г., увлеченность приемами перестановки не ослабевает.
Многие мастера XX века искали звучащие порядки в структурах, не являющихся специфически музыкальными. О додекафонической музыке, развившей почти фетишизм чисел, мы уже говорили. Известны симметричные ряды, которые использовал Веберн, известны конструктивистские планы построения композиции Ксенакиса, известно, что Мессиан наряду с зеркально сконструированными ритмами использует шкалы, которые почти невозможно транспонировать в другую тональность, так как они сконструированы симметрично.
Такие ограничения показывают странную зависимость от рациональности и воображения. Рациональные предпорядки не только стимулируют творческую фантазию, но они сами - результат изобретательности.
И поскольку они являются продуктом творческого воображения, то не требуют дальнейшего обоснования ни в плане логичности, ни в плане их эмоционального воздействия.
Симметрии и пропорции, встречающиеся во многих произведениях XX столетия, стимулируются математическими спекуляциями. Но они сохраняют характер субъективно установленного, что порой напоминает произвольное. Они должны сохранять его также как результат основанной на воображении творческой деятельности; иначе фантазия потеряла бы свою способность из 1 делать З.
Числа, сами ничего не обоснующие и не нуждающиеся в обосновании, часто выступают на поверхность и вызывают чувственное удовольствие.
"Counting Music" американского композитора Тома Джонсона, смесь концептуальной, художественной и минимальной музыки, предполагает такого слушателя, который через числовые категории воспринимает прогрессии и из сознания возрастающей рациональной ясности получает интеллектуальное удовольствие.
Чувственное восприятие числа в в "Vingt Regards sur 1'Enfant Jesus" ["Двадцать взглядов на младенца Иисуса"] Оливье Мессиана придает фразе "Regards des prophetes, des bergers et des mayes" эстетическую выразительность.
Волхвы с Ближнего Востока, пастухи и другие, поклоняющиеся младенцу Христу, приближаются к слушателю и удаляются от него в сокращающихся интервалах от 16-х долей: 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5,4, 3, 2, 1. Принцип "из 6 сделай 1" сокращает арифметический ряд в творческом порядке.

4. Музыка и математика
Математика и музыка — это две системы мышления, которые сойдутся лишь в том случае, если предположить, что за ними обеими стоит одна форма — Божественный Разум.
История показывает: система музыки была усилена до такой степени, что в стремлении выразить абстрактные отношения вселенной она превзошла математику. Однако конкретизация числа в звуках сделала возможным — и особенно в последнее время — проведение операций, которые дали новые, но логически осмысленные результаты.
Если число, с одной стороны, оказывается произвольно любым размером музыкальной фразы, а с другой стороны, указывает на конструктивную способность музыкальных взаимосвязей, то математику оно задает загадку, в какой мере его аксиомы могут служить предпосылками.
К началу данной страницы  
Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Музыка \ Философия и арифметика музыки \