Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Основания математики \ Наипростейшая арифметическая системка \
 

9.6.4.1.1. Числа-отрезки у Евклида

 
Евклид VII книге "Начал" — С. Ф.) мыслит, не отрешаясь от геометрических образов: отрезок, равный 2, не укладывается целое число раз в 5, но укладывается в 6, — значит, 2 измеряет 6, но не измеряет 5.
... он сводит понятие умножения к сложению (опять мысля отрезки, отвечающие целым числам). Умножить N на 5, значит образовать отрезок, полученный приложением к N четыре раза по N.
Д. Д. Мордухай-Болтовский
 
Аксиомы 1, 2, 3, … (из I-ой книги "Начал" — С. Ф.) ("Равные одной и той же равны между собой"; "Если от равных отнимем равные, то получим равные" и т. д.) все относятся не к числам, а к геометрическим величинам, т. е. к классу, в который отнюдь не входят числа.
Но в высокой степени интересным является то, что эти и другие аксиомы лежат в основе Арифметики Евклида; все арифметические действия над числами Евклид сводит к действиям над особым классом отрезков, составленных из одного определенного, отвечающего единице.
Между отрезками этого класса и натуральными числами существует взаимно однозначное соответствие, которое позволяет Евклиду, идя в обратном современному направлении, свести не геометрию к арифметике, а арифметику к геометрии.
Д. Д. Мордухай-Болтовский
Ниже приведены аксиомы из I-ой книги Начал, на которые ссылается Мордухай-Болтовский (заимствованы из: Евклид.  Начала Евклида (книги I — VI). Гос. издательство технико-теоретической литературы, Москва, Ленинград, 1948, с. 15):