Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Философия математики \ Математические объекты и математические системы \
 

9.6.6.1.1. Точка зрения Н. Бурбаки

 
Начало см. здесь.
Бурбаки Н.
Основные структуры анализа.
Книга 1. Теория множеств.
М.: "Мир", 1965, сс. 317 — 325.
Трактат Никола Бурбаки "Начала математики" является одним из наиболее известных и наиболее нестандартных произведений современной математической литературы.
Он еще не закончен, и не известно, как будет выглядеть все сочинение в целом и даже какого оно будет объема.
Поскольку во время писания трактата математика тоже движется вперед, есть основания полагать, что работа не будет завершена никогда.
В. А. Успенский
С античности до XIX века существует общее согласие по вопросу о том, что является основными объектами математиков; это те самые объекты, которые упоминает Платон в цитированном выше отрывке: числа, величины и фигуры.
Каковы бы ни были философские оттенки, в которые понятие математических объектов окрашивалось у того или иного математика или философа, имеется по крайней мере один пункт, в котором они единодушны:
это то, что эти объекты нам даны и не в нашей власти приписывать им произвольные свойства так же, как физик не может изменить какое-либо природное явление.
Правду сказать, составной частью этих воззрений, несомненно, являются реакции психологического порядка, в которые нам не следует углубляться,
но которые хорошо знакомы каждому математику, когда он впустую тратит силы, стараясь поймать доказательство, беспрестанно, как ему кажется, ускользающее.
Отсюда до приравнивания этого сопротивления обстоятельствам, которые противопоставляет нам внешний мир, — один шаг;
и даже сегодня не один математик, афиширующий непримиримый формализм, в глубине души охотно подписался бы под следующим признанием Эрмита:
"Я полагаю, что числа и функции Анализа не являются произвольным созданием нашего ума; я думаю, что они существуют вне нас с такой же необходимостью, как и предметы объективной реальности,
и мы их встречаем или открываем и изучаем их так же, как физики, химики и зоологи."

В классической концепции математики не может быть и речи об уклонении от изучения чисел и фигур;
но эта официальная доктрина, о своем согласии с которой каждый математик считает себя обязанным заявить, создает понемногу невыносимые затруднения по мере накопления новых идей.
Замешательство алгебраистов перед отрицательными числами прекратилось лишь тогда, когда аналитическая геометрия дала им удобную "интерпретацию";
но еще в середине XVIII века Даламбер, обсуждая этот вопрос в "Энциклопедии", после целого ряда довольно запутанных объяснений внезапно испугался и ограничился заключением, что:
"Правила алгебраических операций над отрицательными величинами общеприняты всем светом и всюду признаются точными, какую бы идею, впрочем, с этими величинами не связывали."

Еще больший скандал был из-за мнимых чисел; ибо если это "невозможные" корни и если (вплоть до 1800 года) не видно никакого способа их "интерпретировать",
то как можно без противоречия говорить об этих неопределенных сущностях и, особенно, зачем их вводить?
Даламбер хранил здесь осторожное молчание и даже не ставил этих вопросов, без сомнения, потому,
что признавал, что он не смог бы ответить на них иначе, чем столетием раньше наивно сделал это Жерар (Girard A.):
"Могли бы сказать: для чего служат эти невозможные решения? Отвечаю, для трех вещей: для верности общего правила, чтобы не было других решений и ради своей полезности."

Наконец, даже в области "геометрической достоверности" эвклидовы рамки трещали: когда Стирлинг в 1717 году, не колеблясь, говорил, что "некоторая кривая имеет мнимую двойную точку в бесконечности",
трудно было бы, конечно, связать такой "объект" с общепринятыми понятиями; и Понселе, который в начале XIX века, основав проективную геометрию, дал значительный толчок подобным идеям,
еще довольствовался ссылкой в качестве оправдания на совершенно метафизический "принцип непрерывности".

Понятно, что в этих условиях (и даже в момент, когда, как ни парадоксально, со все большей силой провозглашали "абсолютную истинность" математики)
понятие доказательства в течении XVIII века, по-видимому, все больше и больше затемняется, поскольку не в состоянии фиксировать, подобно грекам, понятия, о которых рассуждают, и их основные свойства.
Возврат к строгости, начавшийся в начале XIX века, внес некоторое улучшение в это положение вещей, но отнюдь не остановил волны новых понятий:
в алгебре мы видим появление мнимостей Галуа, идеальных чисел Куммера, за которыми следуют векторы и кватернионы, n-мерные пространства, поливекторы и тензоры, не говоря уж о булевой алгебре.
Несомненно, значительным успехом (как раз и позволившим вернуться к строгости, без потери предшествующих завоеваний) является возможность создания "моделей" этих новых понятий в более классических терминах:
идеальные числа или мнимости Галуа интерпретируются теорией сравнений,
n-мерная геометрия оказывается (если угодно) просто чистым языком для выражения алгебры "от n переменных";
а для классических мнимых чисел, геометрическое представление которых точками плоскости знаменует начало этого расцвета алгебры, вскоре уже появился выбор между этой геометрической "моделью" и интерпретацией в терминах сравнений.

Но математики начали, наконец, отчетливо чувствовать, что это противодействует естественному направлению их работ и что в математике должно быть позволено рассуждать и об объектах, не имеющих никакой традиционной "интерпретации":
"Сущность математики, — говорит Буль в 1854 году, — не состоит в том, чтобы заниматься идеями числа и величины".
Лейбниц снова проявил себя как предтеча: "Универсальная математика, — говорит он, — это, так сказать, логика воображения" и она должна изучать "все, что в области воображения поддается точному определению".
Для него главной частью так понимаемой математики является наука об абстрактных отношениях между математическими объектами.
Но тогда как до сих пор отношения, рассматривавшиеся в математике, почти исключительно были отношениями величин (равенство, неравенство, пропорциональность),
Лейбниц приводит много других типов отношений, которые, по его мнению, должны были бы систематически изучаться математиками, как, например, отношение включения или то, что он называет отношением однозначного или многозначного "установления" ("determination" ) — т. е. понятия отображения и соответствия.
Много других современных идей по этому вопросу вышло из-под его пера: он замечает, что различные отношения эквивалентности в классической геометрии имеют общие свойства симметричности и транзитивности.
Разумеется, он здесь, как и везде, защищал употребление формализованного языка и даже вводит знак, который должен обозначать переменное отношение.

Начиная с этого момента, выход аксиоматического метода на арену становится признанным фактом.
Хотя еще в течении некоторого времени и считали полезным проверять, когда это возможно, "абстрактные" результаты геометрической интуицией,
уже признавалось по крайней мере, что "классические" объекты — не единственные, которые математики могли бы законно изучать.
Дело в том, что — как раз по причине многочисленных возможных "интерпретаций" или "моделей" — было признано, что "природа" математических объектов есть, в сущности, дело второстепенное и что довольно неважно, например,
представили ли мы результат в виде теоремы "чистой" геометрии или же при помощи аналитической геометрии в виде алгебраической теоремы.
Другими словами, "сущность математики" — это ускользающее понятие — появляется как изучение отношений между объектами,
которые теперь (сознательно) познаются и описываются, исходя только из некоторых из своих свойств, а именно из тех, которые в качестве аксиом принимаются за основу их теории.

Именно это ясно видел Буль в 1847 году, когда он писал, что "математика изучает оперции, рассматриваемые сами по себе, независимо от различных материй, к которым они могут быть приложены".
Ганкель (Hankel) в 1867 году, приступая к аксиоматизации алгебры, защищал "математику чисто интеллектуальную, имеющую своим предметом не совокупность величин или их образов — чисел, но мысленных вещей (Gedankendinge), которым могут соответствовать действительные объекты или отношения, хотя такое соответствие не обязательно".
Кантор в 1883 году откликнулся на это требование "свободной математики", провозгласив, что:
"Математика полностью свободна в своем развитии и ее понятия связаны только необходимостью быть непротиворечивыми и согласованными с понятиями, введенными ранее посредством точных определений."
Наконец, пересмотр эвклидовой геометрии завершил распространение и популяризацию этих идей.
Даже Паш, добивающийся еще некоторой "реальности" для геометрических сущностей, признает, что на самом деле геометрия не зависит от их значения и представляет собой чистое изучение отношений между ними;
концепция, которую Гильберт довел до логического конца, подчеркнув, что сами названия основных понятий математической теории можно выбрать произвольно,
и которую Пуанкаре выразил, сказав, что аксиомы — это "замаскированные определения",
полностью ниспровергла, таким образом, схоластическую точку зрения.
(Согласно известному анекдоту, Гильберт охотно выражал эту идею, говоря, что можно было бы, ничего не меняя в геометрии, слова "точка", "прямая" и "плоскость" заменить словами "стол", "стул" и "пивная кружка".
Любопытно, что уже у Даламбера можно найти предвосхищение этого остроумного выпада: "Словам можно придать такой смысл, какой пожелаешь, пишет он в Энциклопедии; — [можно было бы] в крайнем случае, сделать элементы геометрии точными (но смешными), назвав треугольником то, что обычно называется кругом.")
Можно было бы, таким образом, пытаться сказать, что современное понятие "структуры" выработалось в основном к 1900 году; в действительности, понадобилось еще тридцать лет ученичества, чтобы оно проявилось в полном блеске.
Конечно, нетрудно распознать структуры одного и того же рода, когда их природа достаточно проста; например, для структуры "группы" этого уровня достигли уже в середине XIX века.

Модели и изоморфизмы
Можно заметить, что мы неоднократно использовали понятие "модели" или "интерпретации" одной математической теории при помощи другой.
Эта идея не нова; ее, несомненно, можно видеть в беспрестанно возрождающемся проявлении глубокого чувства единства различных "математических наук".
О первых пифагорейцах см. здесь; о пифагорейском тезисе "все есть число" см. здесь. О древнегреческой теории иррациональностей см. здесь. Раздел об Евклиде см. здесь.


Арифметизация классической математики

Аксиоматизация арифметики
  К началу данной страницы  
Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Философия математики \ Математические объекты и математические системы \