Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Grundlagen der Musiktheorie (S. N. Furs, 2013 — ) \ Версия 2 (20 декабря 2013г. — ) \ Универсум рациональных музыкальных интервалов \ Элементарные инь- и ян- конструкторы музыкальных интервалов \ Последовательность рассмотренных математических конструкций \
 

9.6.8.2.1.1.2.1. Плоская квадратная целочисленная решетка точек

Начало см. здесь.
9.6.8.2.1.1.2.1.1. Кратные интервалы      9.6.8.2.1.1.2.1.2. Угловые коэффициенты лучей
Уравнение рационального луча, отвечающего рациональному музыкальному интервалу, представленному обыкновенной дробью с числителем m и со знаменателем n:
На представленном выше рисунке m = 3 и n = 2.
Определение рационального и иррационального лучей см. у Ф. Клейна здесь. По поводу плоской квадратной целочисленной решетки точек см. у Гильберта, у Клейна, у Кокстера здесь и здесь, у Арнольда, у Делоне, у Флетчера.
Lindley M. и Turner-Smith R. пишут: "Нашей первой математической конструкцией является числовая прямая с положительными числовыми отметками для частот звуковых волн, которые могут быть измерены и которые почти полностью определяют питчи". В противоположность этому, я в качестве самой первой рассмотренной математической конструкции выбираю упомянутую выше плоскую квадратную целочисленную решетку точек.

2. Рациональный луч, отвечающий интервалу унисона
Уравнение рационального луча, отвечающего интервалу унисона и представленному обыкновенной дробью с числителем m и со знаменателем n:
Где m = 1 и n = 1. Выше унисон был квалифицирован как нейтральный рациональный интервал.

3. Рациональный луч, отвечающий интервалу
понижающей октавы
Уравнение рационального луча, отвечающего интервалу понижающей октавы и представленному обыкновенной дробью с числителем m и со знаменателем n:
Где m = 2 и n = 1. Неформальное пояснение смысла интервала понижающей октавы приведено здесь.

4. Рациональный луч, отвечающий интервалу
повышающей октавы
Уравнение рационального луча, отвечающего интервалу повышающей октавы и представленному обыкновенной дробью с числителем m и со знаменателем n:
Где m = 1 и n = 2. Неформальное пояснение смысла интервала повышающей октавы приведено здесь.
9.6.8.2.1.1.2.1.1. Кратные интервалы      9.6.8.2.1.1.2.1.2. Угловые коэффициенты лучей
  К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Grundlagen der Musiktheorie (S. N. Furs, 2013 — ) \ Версия 2 (20 декабря 2013г. — ) \ Универсум рациональных музыкальных интервалов \ Элементарные инь- и ян- конструкторы музыкальных интервалов \ Последовательность рассмотренных математических конструкций \