Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Grundlagen der Musiktheorie (S. N. Furs, 2013 — ) \ Версия 2 (20 декабря 2013г. — ) \ Универсум рациональных музыкальных интервалов \

9.6.8.2.1.2. Начальный набор аксиом для универсума рациональных интервалов

 
Начало см. здесь и здесь.
1. Сигнатура первоначальной теории
Рассмотрим теорию первого порядка, содержащую одну индивидную константу u, два унарных функциональных символа V и H, один бинарный предикатный символ < (по поводу используемой терминологии см., например, у Г. Дж. Кейслера и Ч. Ч. Чэна).
Индивидная константа u содержательно интерпретируется как обозначающая музыкальный интервал унисона (или как обозначающая отношение равенства).
Унарный функциональный символ V содержательно интерпретируется как обозначающий элементарный ян-конструктор рациональных музыкальных интервалов (или как обозначающий элементарный ян-конструктор рациональных отношений).
Унарный функциональный символ H содержательно интерпретируется как обозначающий элементарный инь-конструктор рациональных музыкальных интервалов (или как обозначающий элементарный инь-конструктор рациональных отношений).
Бинарный предикатный символ < содержательно интерпретируется как обозначающий бинарное отношение "строго меньше" на множестве всех рациональных отношений.
Неформальное обсуждение инь- и ян- философии в контексте некоторой системы рациональных отношений см. здесь. Название "конструктор" для элементарных инь- и ян- конструкторов музыкальных интервалов взято из терминологии логического программирования.
2. Начальный набор аксиом
Впервые этот набор аксиом был приведен (с некоторыми отличиями терминологического порядка) здесь (постинг от 08.10.2008 ).
3. Доказательство того, что рациональное отношение 1/2 строго меньше рационального отношения 2/3
4. Повышающие, нейтральный и понижающие
рациональные музыкальные интервалы
Определение 1.2.4.a  (повышающие рациональные музыкальные интервалы).
Для любого рационального музыкального интервала y,
y есть повышающий рациональный музыкальный интервал тогда и только тогда, когда
существует рациональный музыкальный интервал x, такой что
.
Таким образом, повышающие рациональные музыкальные интервалы определены с использованием элементарного ян-конструктора рациональных музыкальных интервалов V.
Определение 1.2.4.b  (нейтральный рациональный музыкальный интервал).
Для любого рационального музыкального интервала y,
y есть нейтральный рациональный музыкальный интервал тогда и только тогда, когда
.
Таким образом, нейтральный рациональный музыкальный интервал определен с использованием рационального музыкального интервала унисона, который мы договорились обозначать буквой u.
Определение 1.2.4.c  (понижающие рациональные музыкальные интервалы).
Для любого рационального музыкального интервала y,
y есть понижающий рациональный музыкальный интервал тогда и только тогда, когда
существует рациональный музыкальный интервал x, такой что
.
Таким образом, понижающие рациональные музыкальные интервалы определены с использованием элементарного инь-конструктора рациональных музыкальных интервалов H.
5. Отношение "строго шире" на множестве повышающих рациональных музыкальных интервалов
Бинарный предикатный символ будет содержательно интерпретироваться как обозначающий бинарное отношение "строго шире" на множестве всех повышающих рациональных музыкальных интервалов.
Определение 1.2.4.d  (бинарное отношение "строго шире").
Для любых рациональных музыкальных интервалов x, y,
тогда и только тогда, когда
(i)  x есть некоторый повышающий рациональный музыкальный интервал
и (ii)  y есть некоторый повышающий рациональный музыкальный интервал
и (iii)  x < y.
Таким образом, бинарное отношение "строго шире" на множестве всех повышающих рациональных музыкальных интервалов определено через уже определенное ранее понятие "повышающего рационального музыкального интервала" и через бинарное отношение "строго меньше" на множестве всех рациональных отношений.
6. Отношение "строго уже" на множестве понижающих рациональных музыкальных интервалов
Бинарный предикатный символ будет содержательно интерпретироваться как обозначающий бинарное отношение "строго уже" на множестве всех понижающих рациональных музыкальных интервалов.
Определение 1.2.4.f  (бинарное отношение "строго уже").
Для любых рациональных музыкальных интервалов x, y,
тогда и только тогда, когда
(i)  x есть некоторый понижающий рациональный музыкальный интервал
и (ii)  y есть некоторый понижающий рациональный музыкальный интервал
и (iii)  x < y.
Таким образом, бинарное отношение "строго уже" на множестве всех понижающих рациональных музыкальных интервалов определено через уже определенное ранее понятие "понижающего рационального музыкального интервала" и через бинарное отношение "строго меньше" на множестве всех рациональных отношений.
  К началу данной страницы  
Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Grundlagen der Musiktheorie (S. N. Furs, 2013 — ) \ Версия 2 (20 декабря 2013г. — ) \ Универсум рациональных музыкальных интервалов \