Итак, приступаем к аксиоматизации системы RA. Сначала будем идти по пути, избранном для аксиоматизации "наипростейшей арифметической системки", просто раздваивая при этом все понятия, аксиомы и теоремы на "вертикальные" и "горизонтальные" и корректно работая с пресуппозициями и .

Следовательно, в качестве первой аксиомы постулируем ассоциативность операции горизонтального сложения.

"Скользкие улицы, иномарки целуются ..." На приведенной анимации "целуются" прямоугольники, чтобы показать нам выполнимость нужных отношений горизонтальной совмещаемости. "Частичный" характер операции горизонтального сложения вынуждает нас принять для нее еще одну аксиому ассоциативности.

Действительно, можно показать, что существуют системы, в которых будет истинна только одна из приведенных аксиом ассоциативности и не истинна другая. Мы же хотим, чтобы в аксиоматизируемой нами системе RA были истинны обе эти аксиомы.

Таким образом, мы имеем две аксиомы ассоциативности для операции горизонтального сложения прямоугольников. Следуя философскому постулату об абсолютном равноправии горизонтального и вертикального, добавим к этим аксиомам еще две "двойственные" акиомы ассоциативности для операции вертикального сложения прямоугольников (интуитивное представление об операции вертикального сложения см. здесь, а об отношении вертикальной совмещаемости — здесь).