Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \
 

9.1. Самые основы

Неформально говоря, под множеством понимается некоторый набор объектов любой природы. Например, можно говорить о множестве всех графств Англии, множестве всех учеников данного класса и т. д.
В математике часто рассматривают разнообразные числовые множества; такие, например, как множество N всех натуральных чисел, множество Z всех целых чисел, множество R всех рациональных чисел.
Объекты, из которых состоит данное множество, называются его элементами. Например, мы можем взять первые четыре буквы a, b, c, d латинского алфавита и образовать из них множество
  {a, b, c, d}. [ #9.1.a ]
Тогда каждая из букв a, b, c, d будет элементом множества [ #9.1.a ], или, как еще говорят, будет принадлежать этому множеству. Факт принадлежности, например, буквы b множеству [ #9.1.a ] записывается следующим образом:
  b О {a, b, c, d}, [ #9.1.b ]
где О есть символ принадлежности некоторого элемента к некоторому множеству. Если мы обозначим множество {a, b, c, d} буквой X, то соотношение [ #9.1.b ] можно будет переписать и в следующем виде:
  b О X. [ #9.1.c ]
Для того же, чтобы указать факт, что некоторый элемент не принадлежит некоторому множеству, используется символ П. Например, запись
  m П X. [ #9.1.d ]
означает, что буква m не принадлежит множеству X.

Правила записи множеств в фигурных скобках
Использование фигурных скобок для обозначения множеств, состоящих из тех и только тех элементов, которые в эти скобки заключены, является общепринятым. Заключая элементы в фигурные скобки, мы тем самым декларируем свое намерение рассматривать их как некую общность, некую целостность. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845 - 1918) говорил, что множество есть многое, мыслимое нами как целое.
Записывая какие-либо множества с использованием фигурных скобок, следует иметь в виду два обстоятельства. Во-первых, порядок следования элементов, заключенных в скобки, является несущественным. Таким образом, записи
  {a, b, c, d}  и  {c, a, d, b} [ #9.1.e ]
представляют одно и то же множество.
Во-вторых, не допускаются повторения одного и того же элемента. Например, запись
  {a, c, c, b, d}  
является некорректной и, следовательно, не представляет собой никакого множества.

Пустое множество
Вводится также понятие пустого множества, обозначаемого символом Ж. Это, по определению, есть такое множество, которое не содержит ни одного элемента. Постулируется, что существует ровно одно пустое множество.

Отношения равенства и включения множеств
Два множества X и Y считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Если воспользоваться введенным выше символом О отношения принадлежности некоторого элемента к некоторому множеству, то для отношения равенства двух множеств X и Y можно дать следующее определение.
Определение 9.1.a  (отношение равенства двух множеств).
Для любых множеств X,Y,
X = Y тогда и только тогда ,
когда для любого элемента x,
x О X тогда и только тогда, когда x О Y.
Очевидно, отношение двух множеств является симметричным отношением,
т. е. если X = Y, то Y = X.
Наряду с отношением равенства двух множеств рассматривается также отношение Н включения одного множества в другое. Если воспользоваться отношением О принадлежности элемента к множеству, отношение Н теоретико-множественного включения может быть определено следующим образом.
Определение 9.1.b  (отношение Н включения одного множества в другое).
Для любых множеств X,Y,
X Н Y тогда и только тогда ,
когда для любого элемента x,
если x О X, то x О Y.
Отметим, что отношение включения одного множества в другое не является симметричным отношением, т. е. из того, что X Н Y, в общем случае не следует, что Y Н X.

Подмножества множества
Определение 9.1.c  (подмножество множества).
Для любых множеств X,Y,
множество X называется подмножеством множества Y
тогда и только тогда , когда X Н Y.
Можно говорить о множестве всех подмножеств данного множества. Например, если Y = {a, b, c}, то множество всех подмножеств этого множества будет состоять из следующих 8-ми элементов:
  Ж,  {a},  {b},  {c},  {a, b},  {a, c},  {b, c},  {a, b, c}  
(отметим, что множество {a, b, c} рассматривается также и как подмножество самого себя).

Кортежи
Наряду с множествами в теории множеств рассматриваются также n-элементные кортежи (упорядоченные n-ки элементов). Кортеж, состоящий из элементов a, b, c, d записывается в следующем виде:
  <a, b, c, d> ( #9.1.f )
(т. е. вместо фигурных скобок (как у множеств) используются угловые скобки).
В отличие от множеств, порядок следования элементов внутри кортежа является существенным. Так, например, записи
  <a, b, c, d> и <b, a, c, d> ( #9.1.g )
являются разными кортежами. Кроме того, допускается повторение отдельных элементов внутри кортежа. Например, все нижеприведенные записи являются легальными кортежами:
  <a, b, c, b, a, d>,  <c, a, b, c, c>,  <d, d, d>.  
Если задан некоторый n-элементный кортеж x, то мы можем связать с ним n проектирующих функций 0(x), 1(x), ... , [n-1](x), которые принимают на входе кортеж x и выдают на выходе его i-ый элемент (считаем, что элементы внутри кортежа занумерованы числами от 0 до n-1).
  К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \