12. Приведение терма H(N(H(N(H(p)))))
к "позитивной" нормальной форме

1. Сборка терма H(N(H(N(H(p)))))
Разложение обыкновенной дроби 5/3 в цепную дробь имеет следующий вид:
Этой цепной дроби можно сопоставить терм H(N(H(N(H(p))))) в сигнатуре определенной ранее теории следующим образом. Запишем для указанной цепной дроби исходные соотношения алгоритма Евклида в духе Дэвенпорта:
Перепишем их, как и у Дэвенпорта, в следующем виде:
И еще раз перепишем так:
Имея в виду содержательный смысл унарного функционального символа H, приведенную систему равенств можно заменить следующей системой равенств:
Здесь мы интерпретируем дробь с числителем m и со знаменателем n как упорядоченную пару < m, n > натуральных чисел с первым элементом m и со вторым элементом n
(так иногда делают; см. в конце страницы по указанной ссылке). С учетом этих соглашений мы можем заменить дробь 1/1 в последнем равенстве на индивидную константу p:
Дополним эту систему равенств еще двумя равенствами, содержащими унарный функциональный символ N (очевидно, эти равенства являются истинными в подразумеваемой интерпретации соответствующей теории):
"Свернем" эту систему равенств в одно равенство:

2. Тождества, которые будут использоваться при редукции терма
Рассмотрим следующие два тождества, которые можно записать в сигнатуре рассматриваемой теории (очевидно, они являются истинными в подразумеваемой интерпретации этой теории):
Первое из этих тождеств фигурировало на http://dxdy.ru/topic16277-75.html в постинге от 18.03.2009 (немного в других обозначениях) под названием унарного закона де Моргана.

3. Редукция терма H(N(H(N(H(p))))) к "позитивной" нормальной форме