Сведения о квинтовой спирали см. здесь. Под звуками расширенной квинтовой спирали будем понимать все звуки собственно квинтовой спирали плюс звуки, которые могут быть получены из звуков квинтовой спирали при помощи всевозможных ходов на октаву. Очевидно, что звуки расширенной квинтовой спирали могут быть представлены в виде дроби (3 в степени x)/(2 в степени y) для некоторых целых чисел x и y.

Сама по себе эта упорядоченная пара целых чисел (x, y) однозначно идентифицирует звук расширенной квинтовой спирали, что позволяет рассматривать звуки расширенной квинтовой спирали как точки аффинной плоскости.

Поскольку нас интересуют только точки с целочисленными координатами, то мы можем говорить здесь о "целочисленных двумерных решетках", образно интерпретируя их как "звездное небо" Феликса Клейна или как "школьную тетрадку в клеточку" (по Арнольду). Хотя нужно понимать, что наше рассмотрение целочисленных двумерных решеток будет отличаться от соответствующих рассмотрений Клейна или Арнольда, которые производили их в контексте теории так называемых "цепных дробей".

Начало координат нашей "тетрадки в клеточку" соответствует, очевидно, звуку c.

На изображенной ниже прямой лежат звуки, полученные при помощи всевозможных ходов на квинту (вверх и вниз) от звука c. Вообще, эта операция хождения на один и тот же интервал (в данном случае, на квинту) была широко распространена в греческой музыкальной теории, как сообщает Мордухай-Болтовский. Соответственно, на оси ординат (оси игреков), лежат звуки, полученные при помощи всевозможных ходов на октаву (вверх и вниз) от звука c.

На аффинной плоскости у нас есть не только точки, но еще и векторы. На рисунке ниже изображены два базисных вектора e1 и e2. В контексте нашей интепретации целочисленные точки аффинной плоскости представляют собой всевозможные звуки расширенной квинтовой спирали, в то время как векторам будут отвечать ходы на соответствующие интервалы. При принятых нами выше соглашениях, вектору e1 будет соответствовать ход на дуодециму вверх (от точки-звука, к которой приложен этот вектор), а вектору e2 будет соответствовать ход на октаву вниз (от точки-звука, к которой приложен этот вектор). Ход от данного звука на любой другой пифагорейский интервал может быть представлен вектором, являющимся некоторой линейной комбинацией базисных векторов e1 и e2.

Например, ход на квинту вверх представляет собой вектор, являющийся суммой базисных векторов e1 и e2 (см. рис. ниже). Следуя системе обозначений Римана, мы обозначаем этот вектор, представляющий собой ход на квинту вверх, через Q.

Страница со сведениями о квинтовой спирали дает нам ноты для звуков только собственно квинтовой спирали, но не дает нам всех нот для более широкого множества звуков расширенной квинтовой спирали. Поэтому мы расширяем пифагорейскую нотацию символами повышения и понижения на октаву.

Пусть * будет символом понижения на октаву, а $ будет символом повышения на октаву. Таким образом, G* будет обозначать звук соль, пониженный на октаву, а D$$$ будет обозначать звук ре, повышенный на три октавы. С учетом этих соглашений некоторые звуки нашей тетради в клеточку могут быть обозначены следующим образом: