Да, в самом деле, кажется совершенно непонятным, каким образом простые построения по пополнению евклидовой плоскости приводят к загадочному объекту, именуемому проективной плоскостью. И как ее только не пытаются изучать!

Некоторые отчаянные головы даже не останавливаются перед опасными манипуляциями с собственными руками, грозящими тяжким увечьем.

Ян Стюарт, например, чтобы выяснить: как же это на проективной плоскости так происходит, что "после одного оборота все закручивается, а после второго — приходит в нормальное состояние", рекомендует сделать следующее (как это ни дико, но его заботит при этом лишь сохранность фамильного сервиза, а не собственных рук):

"Возьмите глубокую тарелку, желательно не из фамильного сервиза, и держите ее перед собой на кончиках пальцев правой руки. Опускайте локоть и двигайте его назад, пронося тарелку под мышкой.

Продолжайте выворачивать руку в том же направлении и поднимайте локоть, пока тарелка не займет исходное положение. Теперь ваша рука вывернута локтем вверх.

Но вы на этом не останавливайтесь. Продолжайте тем же способом выворачивать руку, пронося тарелку над головой, а локоть перед собой. Вы вернетесь в исходное положение.

На полпути рука была вывернута. Казалось бы, после следующего оборота должно стать еще хуже. Но этого не случилось: вы вернулись в исходное положение с невывернутой рукой.

Именно это происходит на проективной плоскости: после одного оборота все закручивается, а после второго — приходит в нормальное состояние" ( Я. Стюарт).

Итак, все же, можно ли представить себе проективную плоскость наглядно? Оказывается (см. Раздел 10.3.2.1.) именно этот вопрос мучал в 1858 году Мебиуса и его служанка подсказала ему решение (в связи с чем более справедливо было бы говорить о "ленте Марты", а не о "ленте Мебиуса").

Но даже после прочтения истории о проделке Марты все равно остается открытым вопрос: как "логически" вывести ленту Мебиуса из построений по пополнению евклидовой плоскости бесконечно удаленными элементами, описанных в Разделе 10.3.1

Именно этим мы здесь сейчас и займемся.