Итак, Клейн предложил классификацию различных геометрий с точки зрения теории групп преобразований, и нам предстоит познакомиться с этой классификацией.

Но, по Клейну, надо начинать с проективной плоскости. А что это такое? Можно ли ее "потрогать руками", как старую добрую евклидову плоскость?

Можно ли представить себе ее наглядно? Можно ли "смоделировать" проективную плоскость? Оказывается, в какой-то степени можно, но для этого потребуется очень богатое воображение.

Впрочем, богатым воображением обладают все настоящие математики, а геометры — тем более. И иногда воображение геометра срабатывает совершенно неожиданно. Так было и с Августом Фердинандом Мебиусом (1790 — 1868).

В его биографии — астронома по должности, геометра по призванию — нет ничего существенно отличного от биографий уже встречавшихся нам "традиционных профессоров". Но с решением вопроса о строении проективной плоскости связана забавная история, которую неоднократно рассказывал сам Мебиус, каждый раз присоединяя к ней новые подробности.

Нет, профессор не был весельчаком, как его отец — учитель танцев. Напротив, Мебиус был очень тихим и скромным человеком, но как и многие выдающиеся люди, мог позволить себе относиться с иронией к собственной персоне ...

Любопытная особенность выдающихся открытий: чуть ли не о каждом из них рассказывают более или менее правдоподобную историю, начиная от архимедовой "эврики" и ньютонового яблока и кончая открытиями сегодняшнего дня.

Обыватель знает не о самом открытии, а об этой истории и с черной завистью думает: "Везет же людям: в ванну залез, яблоко на голову упало, еще какое-нибудь обыкновенное чудо произошло — и, пожалуйста, великое открытие налицо ..."

При этом он забывает, что и до Архимеда люди принимали ванны и до Ньютона сотни яблок падали на головы обывателей, но открытия-то сделали Архимед и Ньютон!

Мозг настоящего ученого работает непрерывно; и иногда достаточно маленького толчка, которым может быть какое-то очередное "яблоко". Только этому толчку предшествовал колоссальный труд, он то и завершился "случайным и легким" открытием.

Итак, весеннее утро 1858 года. Высокоученого профессора Мебиуса, завершившего моцион, встречает супруга ...

—Ну, наконец-то и ты, Август! Я больше не желаю этого терпеть — поднимись в свой кабинет и ты увидишь, на что она способна! Или ты ее уволишь, или...  Герр профессор больше не слушал.

Нет, в свои пятьдесят восемь он вовсе еще не стар и слышит превосходно, просто очень уж отвлекает это ежедневное ворчание. Но все-таки, чем же так недовольна фрау Мебиус, что могла натворить эта девушка?

Книги и рукописи на месте, утренняя почта — тоже. Только что это? С каких пор на его столе валяются дамские подвязки? Тут что-то необычное... Одна подвязка, несомненно, имеет форму цилиндра с направляющей — окружностью.

А вот вторая... Что, собственно, считать здесь направляющей?..  Значит, она просто сообразила, что если обыкновенную полоску сшить вот так... Э, девочка не так уж глупа!

Что же, не замеченное другими, увидел Мебиус? Попытаемся повторить действия его служанки и в какой-то степени, рассуждения профессора.

Главным его отличием от обыкновенных поверхностей является отсутствие "изнанки": у листа Мебиуса нет второй стороны, он имеет только одну "лицевую" сторону. Как это понимать?

Попробуйте выкрасить поверхность листа Мебиуса. Окажется, что вы, не переходя через края листа, выкрасите его весь одним цветом! Это и значит, что лист Мебиуса является односторонней поверхностью — в отличие от обычного цилиндра, для полного закрашивания которого придется перейти через край, т. е. на другую (внутреннюю, например, если вы начали с внешней) сторону, и который можно раскрасить двумя красками так, что граница будет проходить только "по краю".

Этой поразительной особенностью не исчерпываются свойства листа Мебиуса. Попробуйте отрезать узенькую полоску от его края. Окажется, что у листа Мебиуса не только одна сторона, но и только один край!

Вот тут-то и начинается то, что так понравилось Мебиусу и что позволило ему "увидеть" модель проективной плоскости, — край листа Мебиуса ведет себя как проективная прямая!

Мебиус много лет искал такую модель, и Марта "помогла" найти ее.

Правда при аккуратном рассмотрении оказывается, что лист Мебиуса является моделью не всей проективной плоскости. Чтобы получить полную модель, надо не только неограниченно продолжить нашу полоску, но еще и замкнуть ее в другом направлении (поперек), приклеить, так сказать, "донышко" к "бывшему цилиндру".

Для решения этой задачи надо перейти в четырехмерное пространство.