Картинки из квадратов \ Презентация \ Доработка "любимой модели" \ Визуализация одного правила из теории пропорций \

12.7.1.2. Аналог этой композиции
в контексте еще одной проверки
правильности пропорции

 
Начало см. здесь и здесь.
1. Собственно задача
Задача заключается в том, чтобы проверить правильность пропорции:
18/2 = 27/3. Я считаю, что правильность этой пропорции становится очевидной из рассмотрения следующей композиции:
поскольку два прямоугольника на ней, заложенные красной плиткой, имеют один и тот же антанаиресис.
Действительно, предположим, что все желтые квадратные плитки, использованные в композиции, имеют один и тот же размер. Предположим также, что все использованные красные плитки тоже являются квадратными. Из этих предположений с необходимостью следует, что левый прямоугольник, заложенный красной плиткой, имеет ширину M1 = 18 и высоту N1 = 2, а правый прямоугольник, заложенный красной плиткой, имеет ширину M2 = 27 и высоту N2 = 3.
Алгоритм антанаиресис, запущенный сначала на входных данных M1 = 18 и N1 = 2, а потом на входных данных M2 = 27 и N2 = 3, будет протекать в обоих случаях одинаково, т. е. в обоих случаях он сформирует одну и ту же строку, а именно — строку HHHHHHHH. Именно это обстоятельство мы имеем в виду, когда говорим, что "два прямоугольника на указанной выше композиции, заложенные красной плиткой, имеют один и тот же антанаиресис".
Примерно то же самое имел в виду Б. Л. ван дер Варден при толковании одного места из Аристотеля: Определение пропорциональности, которое имеет в виду Аристотель, таково: две величины a и b пропорциональны величинам c и d, если антанаиресис — попеременное вычитание меньшей из большей — для a и b протекает совершенно так же, как и для c и d ...

2. Формализация этих интуиций
В январе 2016 года я предложил (постинг от 30.01.2016 на странице по указанной ссылке) одну формализацию описанных выше интуиций на основе теоретико-множественного понятия расслоения (см. о нем также здесь).
"Пространством расслоения" тут будет множество R всех упорядоченных пар натуральных чисел, а "базой расслоения" будет множество всех строк в бинарном алфавите {V, H}. Мы можем, далее, считать, что "расслаивающее отображение"
реализуется при помощи приведенного здесь "модифицированного" алгоритма антанаиресис. Более того, мы можем даже саму эту строку, формируемую алгоритмом, считать "антанаиресисом" соответствующей упорядоченной пары натуральных чисел (или же прямоугольника, имеющего эти натуральные числа в качестве длин своих горизонтальной и вертикальной сторон).
В частности, для рассмотренного выше примера будем иметь:
Таким образом, проверка пропорциональности любых двух прямоугольников с рациональным отношением сторон может быть сведена к проверке равенства между собой двух строк, являющихся "антанаиресисами" этих двух прямоугольников.