Поль Сурьё пишет: "Знает ли алгебраист, что происходит с его идеями, когда с помощью знаков он их вводит в свои формулы? Прослеживает ли он за ними на протяжении всех этапов, которые он осуществляет? Без сомнения, нет. Он их тотчас же теряет из поля зрения. Он заботится лишь о том, чтобы упорядочивать и комбинировать, в соответствии с известными правилами, материальные знаки, находящиеся у него перед глазами; и он принимает полученный результат как вполне надежный".

В своих исследованиях математики видят вещи под иным, во многом, углом зрения. Не то, чтобы утверждение Сурьё было полностью ошибочным. Можно грубо считать его верным применительно к конечному этапу проверки и "завершения", о котором уже говорилось ранее; но даже в этом случае не все происходит так, как он это говорит.

Математик не оказывает такого слепого доверия результатам, полученным на основании известных правил; он знает, что ошибки в вычислениях возможны и даже часты. Если целью вычисления является проверка результата, который предвидело бессознательное или подсознательное, и если эта проверка не удалась, то нисколько не исключено, что первый подсчет ошибочен, а вдохновение право.

Если же применить это рассуждение не к финальной фазе, а к исследовательской работе вообще, то поведение, описанное Сурьё, является поведением ученика (и даже довольно плохого). Действительный ход мысли при построении математического рассуждения надо, скорее, сравнить с процессом, о котором мы упоминали ранее, а именно, с узнаванием чужого лица.

Промежуточный случай, иллюстрирующий аналогию этих двух процессов, дает изучение психологии шахматистов, некоторые из которых способны играть одновременно десять или двенадцать партий, не видя шахматных досок. Рядом исследователей, в частности Альфредом Бинэ, проводились специальные исследования с целью понять, как это происходит. Результаты исследований можно резюмировать так: для многих из этих шахматистов каждая партия имеет свое лицо, которое позволяет ему думать о ней как о чем-то едином, как бы сложна она не была, точно так же, как мы видим лицо человека в целом.

Такое же явление обязательно происходит при изобретениях любого вида. Мы это видели в письме Моцарта; подобные заявления были сделаны такими художниками, как Энгр и Роден (их цитирует Анри Делакруа, "Изобретение и гений"). Но тогда как Моцарт, любимец муз, не нуждается, кажется, ни в малейшем усилии, чтобы представить себе произведение как единое целое, Роден пишет: "Нужно, чтобы до конца своей работы, он (скульптор) энергично удерживал в полном свете сознания свою идею ансамбля с тем, чтобы непрерывно пополнять ее мельчайшими деталями своего произведения и увязывать их с нею. И без очень напряженного усилия мысли дело идет плохо".

Точно так же, всякое математическое рассуждение, как бы сложно оно ни было, должно мне представлять чем-то единым; у меня нет ощущения, что я его понял, до тех пор, пока я его не почувствовал как единую, общую идеею. И, к сожалению, это часто требует от меня, как и от Родена, более или менее мучительного усилия мысли.