Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \ Первая научная теория: учение о четном и нечетном \
 

7.3.1.6.1. Б. Л. Ван дер Варден
об этом учении ©

Если мы раскроем IX книгу "Начал" Евклида, то найдем в ней ряд предложений (21 — 34), которые совершенно не связаны с предыдущим и которые вместе с предложением IX, 36, как показал О. Беккер, представляют собой архаический и типично пифагорейский математический отрывок. В сокращенной формулировке они гласят следующее:
(21).  Сумма четных чисел является четной.
(22).  Сумма четного количества нечетных чисел будет четной.
(23).  Сумма нечетного количества нечетных чисел будет нечетной.
(24).  Четное минус четное есть четное.
(25).  Четное минус нечетное есть нечетное.
(26).  Нечетное минус нечетное есть четное.
(27).  Нечетное минус четное есть нечетное.
(28).  Нечетное число раз четное есть четное.
(29).  Нечетное число раз нечетное есть нечетное.
(30).  Нечетное число, измеряющее четное, будет измерять и его половину.
(31).  Если нечетное число является взаимно простым с другим числом, то оно будет взаимно простым и с удвоенным этим числом.
(32).  Число, получающееся в результате (повторного) удвоения двойки, может быть только четно-четным.
(33).  Число, половина которого нечетна, может быть только четно-нечетным.
(34).  Каждое число, которое не принадлежит к упомянутым в предложениях (32) и (33), может быть одновременно и четно-четным и четно-нечетным.

Теория завершается предложением (36), утверждающим, что числа вида
2n(1 + 2 + 22 + ... + 2n)
являются совершенными, если только величина
p = (1 + 2 + 22 + ... + 2n)
является простым числом.
Это последнее предложение (36), как заметил Беккер, может быть доказано при помощи только предложений (21) — (34). Евклид дает несколько иное доказательство, вероятно для установления связи с теорией чисел, изложенной в книгах VII — IX, но первоначальное доказательство, несомненно, основывалось на учении о четном и нечетном.
Предложения (32) — (34) связаны с разделением четных чисел на четно-четные и четно-нечетные, которое мы в другой форме находим и у Никомаха Геразского и на которое не раз намекает Платон.
Платон всегда определяет арифметику как "учение о четном и нечетном".

Для пифагорейцев четное и нечетное являются не только основными понятиями арифметики, но и понятиями заключающими в себе основные начала всех вещей. Их точка зрения выражена Аристотелем ("Метафизика", кн. 1, 5) в следующих словах:
Началами числа являются четное и нечетное ... Единица состоит из того и другого ... Число возникает из единицы ... Числа составляют всю вселенную.
Другие из той же самой школы говорят, что существует 10 начал, которые они соединяют в пары:
ограниченное — неограниченное,
нечетное — четное,
единое — многое,
мужское — женское,   и т. д.
Отсюда ясно, что противоположение четного и нечетного играло поистине основополагающую роль в пифагорейской метафизике.

Во фрагменте древнего комического поэта Эпихарма (около 500 до н. э. или даже раньше) мы находим забавный намек на философию пифагорейцев. Происходит следующий диалог:
— Если у меня есть четное число — ну, пускай, хоть нечетное — и кто-нибудь хочет прибавить один камешек или отнять один, то ты как полагаешь, после этого число останется таким же?
— Ни в коем случае, клянусь богами!
— А если кто-нибудь захочет прибавить какую-нибудь длину к локтю или отрезать от него кусочек, что же, по-твоему, мера останется той же?
— Конечно, нет.
— Ну, хорошо. А взгляни на людей: один растет, а другой, может быть, даже меньше становится, люди постоянно меняются, но то, что по своему характеру изменчиво и не остается все время таким же — выходит, что оно отличается от того, что изменилось. Следовательно, на основании сказанного ты и я — мы тоже отличаемся от того, чем мы были вчера, а в будущем мы тоже будем не такие. Следовательно, по тому же самому доказательству, мы никогда одними и теми же не остаемся.
Чтобы оценить это по достоинству, надо припомнить, что этот разговор происходит в комедии, а совсем не в философском рассуждении. По-видимому, первый персонаж задолжал другому некую сумму денег и при помощи философской аргументации старается доказать, что это не он занял деньги, а кто-то совсем другой.
Эпихарм, очевидно, подшучивает над философскими спорами своих современников. Но о каких же философах идет у него речь? Конечно, о пифагорейцах.
Зачем же иначе станет он в первой своей фразе говорить о противоположении четного и нечетного? Эпихарм жил в Сицилии, а пифагорейцы в это время играли важную роль на всем юге Итали; поэтому слушателям, вероятно, намек был вполне ясен.
Из всего этого видно, что учение о четном и нечетном является основной частью пифагорейской математики и Евклид взял его в свои "Начала" ради уважения к традиции.
  К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \ Первая научная теория: учение о четном и нечетном \