Трудно сказать, какое влияние оказал пифагоров строй на музыку древних греков, но его роль в деле развития средневековой музыки вполне ясна.

В средние века стал широко применяться в церковной музыке орган — многоголосый инструмент с фиксированной частотой звуков. Этот инструмент требовал настройки. Так как единственым строем, хорошо известным в те времена, был строй Пифагора, то орган стали настраивать в этом строе.

Настройка органа в пифагоровом строе не представляет больших трудностей. Она осуществляется путем настройки чистых квинт (т. е. квинт без биений) вверх и вниз от исходного звука и перенесения этих квинт в пределы одной октавы.

Однако уже первые попытки игры на органе, настроенном в пифагоровом строе, показали, что гармоническая большая терция этого строя звучит слишком напряженно и непригодна поэтому в качестве терции мажорного тонического трезвучия (гармонического).

Нужно думать, что эту напряженность в первую очередь заметили участники хора, которые, по-видимому, придерживались натуральной большой терции.

Причину напряженности пифагоровой большой терции найти не трудно.

Действительно, в пифагоровом строе большая терция получается посредством четырех ходов по чистым квинтам вверх и выражается отношением 64/81.

Если выразить величину пифагоровой большой терции не долями струны, а числами колебаний, то окажется, что в этой терции верхнему звуку соответствует 81 колебание, а нижнему — 64 (C — E в большой октаве при a = 435 герц).

Для большой терции c¹ — e¹ отношение между числами колебаний будет 324/256 (т. к. (81/64)(4/4) = 324/256).

Звуки большой терции c¹ — e¹ имеют тон совпадения e³ (5-ый частичный тон c¹ совпадает с 4-м частичным тоном e¹).

Число колебаний в секунду 5-го частичного тона равно 2565 = 1280, а число колебаний в секунду 4-го частичного тона равно 3244 = 1296.

При одновременном звучании обоих звуков большой терции c¹ — e¹ интервал будет давать 16 биений в секунду (1296 - 1280 = 16). Эти биения и создают напряжение в гармонической пифагоровой терции.

Итак, попытка использовать пифагоров строй для настройки многоголосого музыкального инструмента с фиксированной частотой звуков вошла в противоречие с растущим гармоническим сознанием.

Музыкальная практика требовала или отказа от гармонических терций вообще или замены их другими гармоническими большими терциями, приемлемыми для хора.

Последним путем пошли Фольяни и Царлино, выдающиеся теоретики XVI века.

Основываясь на работах Аристоксена, Птолемея и Дидима, они предложили брать для большой терции не 64/81, а 4/5 (64/80) струны, иначе говоря, рассматривать большую терцию как основной, а не как производный интервал.

Строй, полученный путем замены терции 64/81 терцией 4/5, получил название "чистого", так как большая терция 4/5 звучит без биений (чисто).

Выразим теперь в долях струны частотные соотношения между звуками, образующими диатоническую мажорную гамму чистого строя, например: c, d, e, f, g, a, h, c¹.

Если звуку c соответствует целая струна (1), то звуку e, образующему большую терцию со звуком c, будет соответствовать 4/5 струны.

Звуку а, образующую большую терцию со звуком f, — 3/5 струны (4/5 от 3/4равно 3/5); звуку h, образующему большую терцию со звуком g, — 8/15 струны (4/5 от 2/3 равно 8/15). Звукам f и g, образующим кварту и квинту со звуком с, и звуку d образующему кварту со звуком g, будет соответствовать, как и в строе Пифагора, 3/4, 2/3 и 8/9 струны.

Этот путь был основан на следующих соображениях: так как 2/3 целой струны дают звук квинтой выше ее основного тона, 3/4 целой струны — звук квартой выше ее основного тона, а 4/5 целой струны дают звук (чистой) терцией выше ее основного тона,
       то 2/3 любой части струны должны дать звук квинтой выше этой же части, 3/4 любой части струны — звук квартой выше этой части, а 4/5 любой части струны — звук (чистой) терцией выше этой части.

Итак, звуки диатонической мажорной гаммы чистого строя в долях струны выразятся следующими отношениями:

(зеленым цветом указаны величины интервалов между соответствующими звуками).

Изложение этого же материала в книге Немировский Л. Г. "Акустика физическая, физиологическая и музыкальная" (курс лекций, чит. в Петроградской народной консерватории), М. - Пг., Гос. изд, 1923, cc. 177 — 185, см. здесь.
Материал из этой же книги Немировского о диатонической гамме пифагорейской системы см. здесь.