Математическим строем называется совокупность частотных отношений между звуками в музыкальной системе.

Введение в музыкальную практику многоголосых инструментов с фиксированной частотой звуков (орган и др.) заставило композиторов и исполнителей заинтересоваться количественной стороной музыкальных систем.

К этому времени в науке был известен целый ряд звуковых строев, разработанных китайскими, персидскими, индийскими, арабскими и греческими учеными, в основе которых лежали самые разнообразные математические принципы отбора звуков и которые пытались объяснить соотношения между звуками в произведениях народного музыкального творчества.

Мы считаем излишним останавливаться на рассмотрении китайских, персидских, арабских и индийских звуковых строев, так как эти строи не оказали непосредственного влияния на европейскую музыку, а начнем с изучения строя, разработанного древнегреческими учеными и известного под именем "строя Пифагора".

Древнегреческим ученым было известно, что на монохорде (музыкальный инструмент, состоящий из струны, натянутой на резонансный ящик  — прим. ред.) можно получить звуки не только путем возбуждения целой струны, но и ее частей: 1/2, 2/3 и 3/4, и что звуки, полученные путем возбуждения указанных частей струны, образуют с ее основным тоном интервалы октавы — 1/2 струны, квинты — 2/3 струны и кварты — 3/4 струны (по современной терминологии).

Эти интервалы, найденные опытным путем и получившие, по преданию, применение при настройке лиры Орфея, стали основными интервалами пифагорова строя.

Остальные интервалы этого строя были найдены последователями Пифагора посредством вычислений.

Трудно сказать, какие причины заставили указанных ученых отказаться от дальнейших делений струны на части в целях получения новых интервалов, известно лишь, что формирование пифагорова строя осуществлялось не опытным, а математическим путем.

Этот путь был основан на следующих соображениях: так как 2/3 целой струны дают звук квинтой выше ее основного тона, а 3/4 целой струны — звук квартой выше того же тона, то 2/3 любой части струны должны дать звук квинтой выше этой же части, а 3/4 любой части струны — звук квартой выше этой части.

Таким образом, если основной тон струны есть с и если взять 2/3 от 2/3 струны, т. е. 4/9 струны, то звук, соответствующий этой части струны, будет d¹.

Этот звук находится за пределами октавы c — c¹. Взявши вместо него d, мы найдем, что последнему звуку соответствует 8/9 струны (перенесение звука на октаву вниз соответствует увеличению длины струны вдвое  — прим. ред.)

Если взять 2/3 от 8/9 струны, т. е. 16/27 струны, то звук, соответствующий этой части струны, будет а.

Если взять 2/3 от 16/27 струны, т. е. 32/81 струны, то звук, соответствующий этой части струны, будет e¹. Этот звук находится за пределами октавы c — c¹. Взявши вместо него e, мы найдем, что последнему звуку соответствует 64/81 струны.

Если взять 2/3 от 64/81 струны, т. е. 128/243 струны, то звук, соответствующий этой части струны, будет h.

Если расположить все найденные нами звуки в порядке их высоты и подписать под ними соответствующие части струны, то мы получим диатоническую мажорную гамму пифагоровой настройки, в которой частотные отношения между звуками выражены в долях струны:

(зеленым цветом указаны величины интервалов между соответствующими звуками).

Если, исходя из основных интервалов пифагорова строя, двигаться от звука f по чистым квинтам вниз, производя при этом соответствующие вычисления, то мы получим фригийскую гамму (по средневековой терминологии), в которой частотные отношения между звуками выражены в долях струны:

Двигаясь по чистым квинтам вверх от звука h и по чистым квинтам вниз от звука des и производя соответствующие вычисления, мы придем в первом случае к звуку his, а во втором — к звуку deses.

Звук his на интервал 524288/531441 (который приблизительно равен дроби 73/74) выше звука c¹, а звук deses — на тот же интервал ниже звука с.

Интервал, на который his выше c¹, а deses ниже с получил название "пифагоровой коммы", что составляет около 1/9 тона (коммой называется интервал, меньший 1/8 целого тона). Таким образом, строй Пифагора — незамкнутый.

Так как каждый интервал пифагорова строя получается посредством того или иного количества квинтовых ходов (вверх или вниз от исходного звука с последующими октавными перенесениями), то каждый интервал этого строя имеет только одно количественное выражение, так:

(1)  б. секунда, получаемая посредством двух квинтовых ходов, выражается отношением 8/9;

(2)  б. секста, получаемая посредством трех квинтовых ходов, выражается отношением 16/27;

(3)  б. терция, получаемая посредством четырех квинтовых ходов, выражается отношением 64/81;

(4)  диатонический полутон, получаемая посредством пяти квинтовых ходов, выражается отношением 243/256;

(5)  хроматический полутон, получаемая посредством семи квинтовых ходов, выражается отношением 2048/2187.

Так как 2048/2187 меньше 243/256 струны, то хроматический полутон пифагорова строя больше диатонического на пифагорову комму.

Так как все интервалы пифагорова строя (за исключением октавы) являются производными от чистой квинты, то пифагоров строй есть строй однофакторный.

Изложение этого же материала в книге Риман Г. "Акустика с точки зрения музыкальной науки" (пер. с нем. Н. Кашкина), М., типо-лит. К. Александрова, 1898, cc. 1 — 10, см. здесь. Изложение этого же материала в книге Немировский Л. Г. "Акустика физическая, физиологическая и музыкальная" (курс лекций, чит. в Петроградской народной консерватории), М. - Пг., Гос. изд, 1923, cc. 170 — 176, см. здесь.

Сведения о квинтовой спирали, на которой основан пифагорейский строй, см. здесь. Раздел, посвященный Пифагору, см. здесь. Раздел, посвященный пифагорейскому учению о гармонии, см. здесь.