|
7.4.1. Натуральные числа
|
|
Натуральные числа это числа
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
(т. е. положительные целые числа).
В настоящем Разделе мы перечислим ряд их элементарных свойств, связанных,
главным образом, с понятием делимости.
Далее в этом Разделе под "числами" будут пониматься только натуральные числа.
Число
a
делится (без остатка) на число
b
(мы будем обозначать это
в виде
ab),
если существует число
c, такое, что:
a = cb.
В противном случае мы будем говорить, что число
a
не делится (без остатка) на число
b и будем обозначать это в виде
ab.
Таким образом, символ
будет использоваться для обозначения
отношения делимости между числами.
Его не следует смешивать с отношением "больше или равно", которое мы будем обозначать обычным образом:
і.
Например,
5 і 3, однако
53,
поскольку 5 не делится на 3.
Если число
a делится на число
b,
т. е. если имеет место
ab,
то число
a называют
кратным числа
b,
а число
b
делителем числа
a.
Число
a
называется
простым, если не существует числа
b,
отличного от
a или
1,
такого, что
ab.
Числа
a и
b
называются
взаимно простыми, если не существует числа
c,
отличного от
1,
такого, что
ac
и
bc.
Число
c называется
общим делителем чисел
a и
b, если
ac
и
bc.
Число
c называется
наибольшим общим делителем чисел
a и
b, если:
|
(i) число c есть общий делитель чисел
a и b;
(ii) для любого числа d, если d есть
общий делитель чисел
a и b,
то cd.
|
Наибольший общий делитель чисел
a и
b обычно записывают
в виде
НОД(a,b). Для его конкретного вычисления используют, как правило,
алгоритм Евклида. В частности, одна из версий этого алгоритма используется при вычислении
НОД в
калькуляторе для натуральных чисел.
Число
c называется
общим кратным чисел
a и
b, если
ca
и
cb.
Число
c называется
наименьшим общим кратным чисел
a и
b, если:
|
(i) число c есть общее кратное чисел
a и b;
(ii) для любого числа d, если d есть
общее кратное чисел
a и b,
то dc.
|
Наименьшее общее кратное чисел a и b обычно записывают
в виде НОК(a,b). Для его конкретного вычисления используют, как правило,
следующее соотношение, выражающее НОК через НОД и операции умножения и деления чисел:
НОК(a,b) = (ab)НОД(a,b).
Из этого соотношения, в частности, следует, что если числа a и b
являются взаимно простыми, то их НОК будет совпадать с их произведением:
НОК(a,b) = ab.
(поскольку для взаимно простых чисел НОД(a,b) = 1).
Если же числа a и b
не являются взаимно простыми, то
НОД(a,b) > 1 и НОК(a,b) < ab.