Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Некоторые факты элементарной математики \
 

7.4.1. Натуральные числа

7.4.1.1. Калькулятор для натуральных чисел
7.4.1.2. Начала теоретической (или "высшей") арифметики
Натуральные числа — это числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...  (т. е. положительные целые числа). В настоящем Разделе мы перечислим ряд их элементарных свойств, связанных, главным образом, с понятием делимости. Далее в этом Разделе под "числами" будут пониматься только натуральные числа.
Число a делится (без остатка) на число b (мы будем обозначать это
в виде ab), если существует число c, такое, что:
a = cb.
В противном случае мы будем говорить, что число a не делится (без остатка) на число b и будем обозначать это в виде ab.
Таким образом, символ будет использоваться для обозначения отношения делимости между числами. Его не следует смешивать с отношением "больше или равно", которое мы будем обозначать обычным образом: і.  Например, 5 і 3, однако
53, поскольку 5 не делится на 3.
Если число a делится на число b, т. е. если имеет место ab, то число a называют кратным числа b, а число bделителем числа a.
Число a называется простым, если не существует числа b, отличного от a или 1, такого, что ab.
Числа a и b называются взаимно простыми, если не существует числа c, отличного от 1, такого, что  ac  и  bc.
Очевидно, обыкновенная дробь a/b является несократимой тогда и только тогда, когда числа a и b являются взаимно простыми (см. также соответствующее утверждение из древнегреческой теории отношений).

Число c называется общим делителем чисел a и b, если  ac  и  bc.
Число c называется наибольшим общим делителем чисел a и b, если:
 
(i) число c есть общий делитель чисел a и b;
(ii) для любого числа d, если d есть общий делитель чисел a и b, то  cd.
Наибольший общий делитель чисел a и b обычно записывают в виде НОД(a,b). Для его конкретного вычисления используют, как правило, алгоритм Евклида. В частности, одна из версий этого алгоритма используется при вычислении НОД в калькуляторе для натуральных чисел.
Число c называется общим кратным чисел a и b, если  ca  и  cb.
Число c называется наименьшим общим кратным чисел a и b, если:
 
(i) число c есть общее кратное чисел a и b;
(ii) для любого числа d, если d есть общее кратное чисел a и b, то  dc.
Наименьшее общее кратное чисел a и b обычно записывают в виде НОК(a,b). Для его конкретного вычисления используют, как правило, следующее соотношение, выражающее НОК через НОД и операции умножения и деления чисел:
НОК(a,b) = (ab)НОД(a,b).
Из этого соотношения, в частности, следует, что если числа a и b являются взаимно простыми, то их НОК будет совпадать с их произведением:
НОК(a,b) = ab.
(поскольку для взаимно простых чисел НОД(a,b) = 1).
Если же числа a и b не являются взаимно простыми, то
НОД(a,b) > 1  и  НОК(a,b) < ab.
Повычислять НОК, НОД и другие арифметические операции на конкретных примерах можно при помощи калькулятора для натуральных чисел.
7.4.1.1. Калькулятор для натуральных чисел
7.4.1.2. Начала теоретической (или "высшей") арифметики
  К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Некоторые факты элементарной математики \