Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Что такое "множество" (более подробно) \
 

9.2.1. Отрывок из книги Ю. А. Шрейдера
"Равенство, сходство, порядок" (1971г.) ©

Любой реальный или воображаемый объект может являться элементом каких-то множеств. Некоторые объекты сами являются множествами. Термины "элемент" и "множество" являются исходными и поэтому неопределяемыми понятиями.
Тем не менее мы считаем, что интуитивный смысл этих понятий известен каждому. В сущности он определяется для нас положением этих слов в ряду почти синонимов:
Множество, совокупность, класс, группа, коллектив, собрание, ряд ...
и, соответственно:
Элемент, участник, представитель, член ...
Выделяя первых представителей в этих рядах, мы тем самым декларируем, что в точных формулировках будут участвовать только они.

Мы считаем множество заданным, если для каждого входящего в него объекта можно судить, является ли он элементом этого множества (принадлежит ли он этому множеству).
Чтобы суждение о принадлежности объекта данному множеству могло быть достаточно определенным, необходимо под объектом понимать нечто достаточно четко определенное и способ описания множества задавать достаточно ясным образом.
Например, не стоит рассматривать "множество моих воспоминаний", поскольку не очень ясно, что есть единичное воспоминание, т. е. в данном случае объекты определены весьма нечетко.
Трудно было бы рассматривать "множество хороших писателей", так как вряд ли можно прийти к разумному соглашению, каких писателей следует считать хорошими.
Зато не вызывает сомнений правомерность понятия "множество членов союза писателей". Для того, чтобы судить, является ли данный человек элементом этого множества, достаточно посмотреть, числится ли он в соответствующем списке.

То обстоятельство, что объект x входит элементом во множество M, записывается с помощью специального символа принадлежности:
  x О M. [ #9.2.1.a ]
(Читается: "x входит в M" или "x есть элемент множества M" или "x принадлежит множеству M").
Можно рассматривать, например, такие множества:
Множество всех натуральных чисел (число 5 входит в это множество, а числа   2  и  (1 + i), очевидно, не входят; не входит в это множество и книга "Война и мир").
Множество всех космонавтов, летавших в космос до сегодняшнего дня. Это множество легко задать списком. В него заведомо не входит автор этой книги, но не исключено, что входит читатель. Заметим, что определение этого множества зависит от того, когда Вы читаете эту книгу.
Профессор И. И. Жегалкин любил приводить пример множества из солнца, разума и апельсина.

В каком случае про два множества M1 и M2 можно сказать, что они совпадают? Естественно принять следующее
Определение. Множества M1 и M2 совпадают, если любой объект x, являющийся элементом множества M1, входит в M2 и, наоборот, любой элемент множества M2 входит в M1.
В этом определении мы неявно использовали умозрительную возможность рассуждать о любых объектах, проверяя, входят ли они в данное множество. Ведь мы не можем проверить, являются ли два множества одинаковыми, если не проверим для каждого объекта, входит ли он в каждое из множеств.

Вообще говоря, определения конкретных множеств строятся так, что в самом определении ограничивается класс возможных объектов.
Например, когда мы говорим о множестве всех чисел, делящихся на три, то становится ясной ненужность проверки, входят ли в него слоны.
Удобно это соглашение ввести явным образом и считать, что заранее зафиксирован класс допустимых объектов.
Говоря далее одновременно о нескольких множествах, мы имеем в виду, что в них входят только объекты, принадлежащие этому классу. Этот класс принято называть универсумом.
  К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Что такое "множество" (более подробно) \