Ниже дублирован мой заглавный пост в дискуссии http://dxdy.ru/topic16277.html:

О чем свидетельствует наличие "двойственности" в математической теории или в структурах, которые она описывает? (в такой, например, как булева алгебра)? Только лишь о том, что некоторой теореме (или какому-либо понятию) такой теории может быть сопоставлена двойственная? Или же существует и некий более глубокий смысл у понятия "двойственность" или "duality"?

Например, если определить систему:

где Q⁺ есть множество всех положительных рациональных чисел;

есть бинарная операция на множестве Q+, определяемая как xy = x + y;

есть бинарная операция на множестве Q+, определяемая как ;

 есть унарная операция на множестве Q+, определяемая как ;

то в системе Q⁺ будут справедливы многие законы, имеющие место быть в булевой алгебре, например, законы де Моргана:

Означает ли это, что в системе положительных рациональных чисел присутствует феномен "двойственности"?

2. Двойственная запись соотношений алгоритма Евклида

Я продемонстрирую ее на примере Дэвенпорта. Исходные соотношения алгоритма Евклида для этого примера таковы:

Перепишем их, как и у Дэвенпорта, в следующем виде:

И еще раз перепишем так:

Проинтерпретируем дробь с числителем m и со знаменателем n как упорядоченную пару < m, n > натуральных чисел с первым элементом m и со вторым элементом n
(так иногда делают; см. в конце страницы по указанной ссылке). Тогда операцию + в приведенных выше соотношениях можно заменить частичной бинарной операцией на упорядоченных парах натуральных чисел, которая была определена здесь:

Соотношения, являющиеся двойственными для приведенных соотношений, запишутся с использованием частичной бинарной операции следующим образом (операция была определена здесь):

3. Отношение делимости на множестве
положительных рациональных чисел

Для дальнейшего изучения двойственности в системе положительных рациональных чисел было бы полезно зафиксировать ряд соглашений об обозначениях отношения делимости на множестве положительных рациональных чисел. Определение этого понятия приведено, например, у Л. Фукса (пример 4 по указанной ссылке).

Я буду использовать для обозначения отношения делимости на множестве положительных рациональных чисел символ , а для обозначения двойственного к нему отношения — символ . Таким образом, формула будет читаться как "рациональное число r₁ есть делитель рационального числа r₂",
а формула будет читаться как "рациональное число r₁ делится на рациональное число r₂".

Эти отношения делимости используются у Арнольда, который дает для них свои обозначения. Рассмотрим один из законов, сформулированных у Арнольда:

Арнольд И. В.
Теоретическая арифметика.

М.: Гос. уч. пед. изд-во, 1938, c. 388.

С использованием принятых мною выше соглашений, он может быть записан следующим образом:

Здесь символ "черта" обозначает операцию обращения рационального числа, как это было принято выше. Этому закону соответствует аксиома XXI у Яглома в одной из приведенных у него аксиоматик булевых алгебр. При логической интерпретации булевой алгебры этому закону соответствует так называемый "закон контрапозиции":

https://en.wikipedia.org/wiki/Contraposition

4. Запись формул Арнольда в решетчатых терминах

Можно записать все соотношения, фигурирующие в отрывке из книги Арнольда, в стандартных теоретико - решетчатых терминах. Я буду использовать символ для обозначения операции НОД на множестве положительных рациональных чисел и символ для обозначения операции НОК на множестве положительных рациональных чисел. Тогда Наибольший Общий Делитель d положительных рациональных чисел r₁, r₂, ... , r_n выразится следующим образом:

А Наименьшее Общее Кратное m положительных рациональных чисел r₁, r₂, ... , r_n выразится следующим образом:

С использованием операции обращения рациональных чисел, законы де Моргана для операций и запишутся следующим образом: