Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \ Первый научный кризис: несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной \ Фантастическое открытие (по Радемахеру - Теплицу) \
 

7.3.1.10.2.1. Первое доказательство

Начало см. здесь.
Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры.
(опыты математического мышления)
М.: Гос. изд-во физико-математической литературы,
1962, сс. 31 — 33.
Первому доказательству мы предпошлем одно геометрическое соображение элементарного характера, возникшее в результате тщетных попыток найти общую меру между стороной и диагональю квадрата по способу повторного откладывания.
Отложим (рис. 17) на диагонали квадрата от точки B его сторону, что удается сделать один-единственный раз.
Из полученной точки D восстановим перпендикуляр к BD, который пересечет сторону AC квадрата в точке B', и соединим B' с B. Тогда:
как прямые углы. Отсюда, как известно, следует, что треугольники BAB' и BDB' равны и, значит, AB' = DB', как соответственные стороны в равных треугольниках.
Далее, угол B'CB, как угол между стороной и диагональю квадрата, равен половине прямого, и, так как угол CDB' по построению прямой, для третьего угла треугольника CDB' остается половина прямого.
Этот треугольник CDB' является, таким образом, равнобедренным прямоугольным треугольником, и отсюда, в частности, следует, что DB' = DC.
Таким образом, мы пока доказали, что
  AB' = B'D = DC. [ 1 ]

Востановим теперь перпендикуляр к диагонали CB в точке C, затем отложим на этом перпендикуляре отрезок CA', равный DB', и соединим его конечную точку A' с точкой B'.
Тогда фигура A'B'DC будет квадратом, меньшим первоначального; диагональ B'C в нем уже проведена.
С этим квадратом поступим так же, как с первоначальным, т. е. отложим его сторону на его диагонали и из полученной точки D' восстановим перпендикуляр к диагонали нового квадрата.
Этот перпендикуляр пересечет его сторону в точке B''; аналогично предыдущему будем иметь:
A'B'' = B''D'= D'C.                  [ 2 ]
Очевидно, что этот процесс можно продолжать неограниченно. При этом всякий раз будет получаться новый остаток, меньший предыдущего:
CD > CD' > CD'' > CD''' > ... ,         [ 3 ]
Каждый такой остаток будет представлять собой разность между диагональю и стороной одного из квадратов, последовательно получаемых в процессе построения:
  CD = (CB - AB),  CD' = (CB' - A'B'),  CD'' = (CB'' - A''B''),  .... [ 4 ]

Это построение позволяет теперь приступить к самому доказательству, которое мы проведем методом от противного.
Предположим, что сторона и диагональ нашего квадрата соизмеримы; пусть, следовательно, существует общая мера этих отрезков,
т. е. некоторый отрезок E, являющийся точной дробной частью стороны квадрата, вместе с тем укладывающийся целое число раз также и в диагонали.
Следует принять во внимание, что разность между какими-либо двумя отрезками, являющимися целыми кратными отрезка E, точно также является целым кратным отрезка E (рис. 18).
Если, таким образом, CB и AB являются целыми кратными отрезка E, то, согласно [ 4 ], отрезок CD, а вместе с ним и отрезок A'B', являющийся другой стороной того же квадрата, также должны быть целыми кратными отрезка E.
Но в таком случае на основании [ 1 ] и диагональ этого квадрата
CB' = (CA - B'A) = (AB - CD), как разность между двумя отрезками, кратными отрезку E, будет тоже кратна отрезку E.
После того, как это свойство доказано для стороны и диагонали квадрата с одним штрихом, оно по аналогии распространяется и на все последующие квадраты.

Теперь наше доказательство от противного может быть закончено, т. е. приведено к желаемому противоречию,
ибо если предположить, что существует общая мера E стороны и диагонали данного квадрата, то, с одной стороны, все фигурирующие в [ 3 ] отрезки оказываются кратными отрезку E,
а с другой стороны, соотношения [ 3 ] утверждают, что эти отрезки, кратные отрезку E, становятся все меньше, причем процесс уменьшения не может ни прекратиться, ни привести к нулю.
Но для отрезков, кратных некоторому определенному отрезку E это невозможно.
Действительно, пусть самый первый стоящий в соотношении [ 3 ] отрезок CD в 1000 раз больше отрезка E; в таком случае второй отрезок CD' должен превышать отрезок E в меньшее, чем 1000, но опять-таки в целое, число раз, т. е. самое большее в 999 раз, и т. д.;
следовательно, 1001-й член этой цепи [ 3 ] отрезков, оставаясь кратным отрезку E, должен быть в то же время меньше этого отрезка E, иначе говоря, вопреки доказанному, он не должен быть кратным отрезку E.
Таким образом, предположение о соизмеримости стороны и диагонали квадрата приводит нас к противоречию.

Второе доказательство много проще; оно требует лишь небольшого арифметического введения,
более короткого, чем те длинные рассуждения из элементарной геометрии, которые необходимо было предпослать нашему первому (геометрическому) доказательству.
Продолжение см. здесь.
  К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \ Первый научный кризис: несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной \ Фантастическое открытие (по Радемахеру - Теплицу) \