Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \

7.3.1.12. Эллипс, гипербола и парабола

Начало см. здесь.
 
Как мы знаем, терминология такого приложения площадей заимствована из геометрической алгебры. От греческих слов "приложение", "избыток", "недостаток" произошли названия парабола, гипербола и эллипс.
Приведенные выше чертежи Аполлония состоят из двух неодинаковых частей: можно было бы даже говорить о чертеже геометрическом и чертеже алгебраическом.
К геометрическому чертежу относятся: коническое сечение, в котором, собственно говоря, и заключается вся суть, система косоугольных осей, абсцисса x и ордината y. Алгебраический чертеж будет уже не косоугольным, а прямоугольным, он дает алгебраическое соотношение между a, p, x и y.
Площади, которые в данном случае прикладываются или отнимаются, соответствуют членам уравнения современной аналитической геометрии, а все алгебраические преобразования, которые мы производим над уравнением, доказываются у Аполлония геометрически. При этом ход рассуждений является вполне алгебраическим, и он гораздо более современен, чем можно было бы заключить из запутанной геометрической формулировки.
Аполлоний виртуозно владеет геометрической алгеброй, но не менее виртуозно умеет скрывать свой первоначальный ход мыслей. Из-за этого-то его книгу и трудно понимать: рассуждения его элегантны и кристально ясны, но что его привело именно к таким рассуждениям, а не к иным каким-нибудь, — об этом можно лишь догадываться.
Б. Л. ван дер Варден
 
Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой.
Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями.
От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала.
Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении.
http://www.bigpi.biysk.ru/encicl/articles/15/1001522/1001522F.htm
7.3.1.12.1. Справка из аналитической геометрии      7.3.1.12.2. Эллипс, гипербола и парабола в изложении Д. Д. Мордухая-Болтовского
7.3.1.12.3. Эллипс, гипербола и парабола по А. П. Юшкевичу      7.3.1.12.4. Аполлоний Пергский (Б. А. Розенфельд)
В Сети о конических сечениях можно почитать, например, здесь:
http://www.bigpi.biysk.ru/encicl/articles/15/1001522/1001522F.htm.