7.3.1.12. Эллипс, гипербола и парабола
|
|
7.3.1.12. Эллипс, гипербола и парабола |
|
|
Как мы знаем, терминология такого
приложения площадей
заимствована из
геометрической алгебры.
От греческих слов "приложение", "избыток", "недостаток" произошли названия парабола, гипербола и эллипс.
Приведенные выше чертежи Аполлония состоят из двух неодинаковых частей: можно было бы даже говорить о чертеже геометрическом и чертеже алгебраическом.
К геометрическому чертежу относятся: коническое сечение, в котором, собственно говоря, и заключается вся суть, система косоугольных осей, абсцисса x и ордината y. Алгебраический чертеж будет уже не косоугольным, а прямоугольным, он дает алгебраическое соотношение между a, p, x и y.
Площади, которые в данном случае прикладываются или отнимаются, соответствуют членам уравнения современной аналитической геометрии, а все алгебраические преобразования, которые мы производим над уравнением, доказываются у Аполлония геометрически. При этом ход рассуждений является вполне алгебраическим, и он гораздо более современен, чем можно было бы заключить из запутанной геометрической формулировки.
Аполлоний виртуозно владеет
геометрической алгеброй,
но не менее виртуозно умеет скрывать свой первоначальный ход мыслей. Из-за этого-то его книгу и трудно понимать: рассуждения его элегантны и кристально ясны, но что его привело именно к таким рассуждениям, а не к иным каким-нибудь, — об этом можно лишь догадываться.
|
|
Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой.
Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями.
От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала.
Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении.
|