Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \

7.3.1.11. Реакция на кризис:
"геометрическая алгебра"

Начало см. здесь.
 
Раскрыв II книгу "Начал" Евклида, мы найдем ряд предложений, которые представляют собой не более как геометрические формулировки алгебраических правил.
Перед нами нечто вроде первых страниц нашего учебника алгебры, но только в геометрической форме.
Рассматриваемые величины всегда представляют отрезки прямых, вместо "произведения ab" говорится "прямоугольник, содержащийся между a и b", а вместо a2 — "квадрат на a".
В связи с этим Цейтен говорит с полным правом о "геометрической алгебре". Повсюду в греческой математике встречаются многочисленные применения этой алгебры.
Ход мысли всегда алгебраический, формулировка — геометрическая. В 4-м веке до н. э. Теэтет, а в 3-м веке до н. э. Архимед и Аполлоний были истинными виртуозами по этой части.
Б. Л. ван дер Варден
 
Вторая книга "Начал" Евклида — это алгебра древних. В дальнейших стадиях эволюции математической мысли она превращается в современную буквенную алгебру.
Теоремы книги II "Начал" становятся просто алгебраическими тождествами в эпоху арифметизации и алгебраизации геометрии.
Д. Д. Мордухай-Болтовский
 
Открытие несоизмеримости явилось причиной того, что в греческой математике, и притом в самой пифагорейской школе, обратили внимание на соотношение между геометрией и арифметикой. Арифметика, как мы говорили, базировалась на понятии целого числа. Рациональные числа мыслились, как пары целых. После того как выяснилось, что отношение двух отрезков, вообще говоря, не может быть выражено с помощью отношения целых чисел, математическая система пифагорейцев была разрушена.
Естественно, что начались интенсивные поиски путей выхода из кризиса. Для этого априори представлялось несколько возможностей: 1) расширить понятие числа так, чтобы с помощью новых чисел можно было характеризовать отношение любых двух отрезков; 2) строить математику не на основе арифметики рациональных чисел, а на основе геометрии, определив непосредственно для геометрических величин все операции алгебры; 3) отказаться от строго логического построения учения о несоизмеримых величинах и перейти к нестрогому оперированию с иррациональными (как это делалось впоследствии в Индии и в средневековой Европе).
Третий путь был неприемлем для греков — он означал отказ от основной идеи дедуктивного построения математики.
Первый путь на столь ранней стадии развития представлял громадные трудности. Даже те первые попытки, которые были сделаны в конце V и в начале IV в. до н. э., окончились неудачей. Практически он был закрыт для ранних пифагорейцев.
И они пошли по второму пути. Это была ошибка в стратегии, хотя на первых порах античная математика получила большие тактические преимущества. Построение алгебры на основе геометрии впервые позволило обосновывать общим образом некоторые теоремы и правила алгебры.
История математики ...
7.3.1.11.1. Восторженные замечания В. И. Арнольда
7.3.1.11.2. Боковые и диагональные числа      7.3.1.11.3. Голая флейтистка (и епонки)
7.3.1.11.4. Первые 4-ре предложения II книги "Начал"      7.3.1.11.5. Знаменитые предложения 5 и 6
7.3.1.11.6. Многоликий гномон      7.3.1.11.7. "Приложение площадей" и решение квадратных уравнений
7.3.1.11.8. Комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского к книге II "Начал"