Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \ Реакция на кризис: "геометрическая алгебра" \

7.3.1.11.3. Голая флейтистка (и епонки) ©

7.3.1.11.3.1. И епонки
Почему же они (греки) были до такой степени привержены ко всему осязаемому и зримому, что, совершенно отвернувшись от чисел, занялись исключительно фигурами?
Бесспорно, что чувство восхищения тем, что можно было видеть, являлось у греков основной движущей силой. Изображенная ниже скульптура, а также многочисленные другие бессмертные произведения искусства, показывают это
с полной ясностью.
Ниже изображена флейтистка с так называемого "трона Венеры". Греческая скульптура начала 5-го века до н. э. (Рим, Национальный Музей у Терм.)
Но все-таки этого еще недостаточно для того, чтобы можно было полностью исключить алгебру. Мы должны помнить, что по надежному свидетельству Евдема, именно пифагорейцы заложили основания геометрической алгебры.
Но ведь для пифагорейцев числа были "непоколебимым основанием всей вселенной", мир был создан "в подражание числам", а небеса были для них "числовой гармонией". И, как говорит Аристотель, эти взгляды сформировались у них именно по той причине, что они занимались математикой.
Неужели же эти поклонники чисел решали квадратные уравнения не в числах, но обязательно при помощи отрезков и площадей, только из-за своей влюбленности в зримое? Поверить этому трудно; должна существовать какая-то иная причина для геометризации алгебры.

В самом деле, найти эту причину нетрудно: это было открытие иррациональности, которое, как говорит нам Папп, действительно было сделано в пифагорейской школе. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.
Но ведь это значит, что при выборе стороны квадрата в качестве единицы длины диагональ его не может быть измерена; ее длина не может быть выражена не только целым числом, но даже и дробью.
Мы в настоящее время говорим, что длина диагонали выражается "иррациональным числом"   2, и чувствуем свое превосходство над бедными греками, которые "не знали, что такое иррациональные числа".
Однако греки знали очень хорошо иррациональные отношения. Как мы увидим далее, они имели очень ясное представление об отношении диагонали к стороне квадрата и были в состоянии совершенно безукоризненно доказать, что это отношение не может быть выражено в целых числах.
И если они не рассматривали   2 как число, то это было результатом не их неведения, но только того, что они строго держались своего определения числа.
"Arithmos" обозначает количество, а следовательно, и целое число. Логическая строгость не позволяла им допускать даже дробей, и они заменяли их отношением целых чисел.

Для вавилонян же каждый отрезок и каждая площадь представляли собой просто-напросто число. Они даже и не задумывались, когда приходилось площадь прямоугольника сложить с его основанием.
Когда они не могли точно извлечь квадратный корень, то спокойно удовлетворялись приближением. Инженеры и естествоиспытатели во все времена поступали точно также.
Но для греков имело значение точное знание, "диагональ в самой своей сущности", как выражает это Платон, а не допустимое приближенное значение.

Уравнение не может быть разрешено ни в области целых чисел, ни даже в области отношений чисел.
Но оно вполне разрешимо в области прямолинейных отрезков: действительно, его решением является диагональ квадрата со стороной, равной единице.
Следовательно, для того, чтобы получить точное решение квадратного уравнения, нам надлежит из области чисел перейти в область геометрических величин. "Геометрическая алгебра" применима также и к иррациональным отрезкам и тем не менее является точной наукой.
Следовательно, не только наслаждение зримым, но и логическая необходимость заставили пифагорейцев преобразовать их алгебру в геометрическую форму.
7.3.1.11.3.1. И епонки
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \ Реакция на кризис: "геометрическая алгебра" \