Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \ Реакция на кризис: "геометрическая алгебра" \

7.3.1.11.7. "Приложение площадей" и решение квадратных уравнений

 
Когда грекам нужно было решать квадратные уравнения, они приводили их к одной из следующих форм:
x(x + a) = F,
x(a - x) = F,
x(x - a) = F
и решали их при помощи приложения площадей.
В первом и третьем случаях имелись два прямолинейных отрезка x и x + a (или x - a), разность и произведение которых были заданы, т. е. применялось приложение с избыточным квадратом.
Во втором случае имелись два прямолинейных отрезка x и a - x, сумма и произведение которых были заданы, т. е. применялось приложение с недостающим квадратом.
Б. Л. ван дер Варден
7.3.1.11.7.1. Предложения 28 и 29 из VI книги "Начал"      7.3.1.11.7.2. Приложение площадей по А. П. Юшкевичу
7.3.1.11.7.3. Квадратные уравнения в школьной математике
Оказывается, что когда-то "очень давно" эллипс, парабола и гипербола были не кривыми, а прямыми. Или, если сказать точнее, эти понятия возникали в контексте отрезков прямых, прямоугольников и квадратов — кстати говоря, именно такой контент генерит созданный мною квадрогенератор. И лишь позднее эллипс, парабола и гипербола стали ассоциироваться с известными кривулинами.
Следующая выдержка — из Б. Л. ван дер Варден.  Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Гос. издательство физико-математической литературы, М., 1959, с. 171:
О жизни и работах неоплатоника Прокла см. здесь; Раздел о конических сечениях см. здесь.
По-видимому, "приложение площадей" было весьма ценным методом в греческой математике, раз Плутарх отнес его к одной из трех "быкоубийственных" вещей.

А ведь и в современной математике очень много чего квалифицируется как эллиптическое, гиперболическое и параболическое. Например, в проективной геометрии есть такие отображения — инволюциями называются. Так они подразделяются именно на эллиптические, гиперболические и параболические:
http://lib.e-science.ru/book/143/page/341.html;
(чтобы почитать это в более комфортном виде, можно скачать отсюда: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/angeometry.htm книгу
Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1971 и почитать там на сс. 338 — 342 об инволюциях.)
Геометрии различные классифицируются на эллиптические, гиперболические и параболические. И дифференциальные уравнения в частных производных тоже так классифицируются (http://dxdy.ru/topic16558.html).
Все это наводит на мысль о существовании некоей единой отправной точки (или "канонического образца") для подобных методик классификации, в качестве которой, по-видимому, и должна будет выступить методика классификации для задач о "приложении площадей".

В Разделе 7.3.1.8.1 мы проанализируем, каким образом квадратные уравнения "гиперболического типа" связаны с другим столпом античной математики — алгоритмом Антанаиресис.
7.3.1.11.7.1. Предложения 28 и 29 из VI книги "Начал"      7.3.1.11.7.2. Приложение площадей по А. П. Юшкевичу
7.3.1.11.7.3. Квадратные уравнения в школьной математике
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \ Реакция на кризис: "геометрическая алгебра" \