Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \

7.3.1.5. Греческое чудо

 
Платон в посмертном своем диалоге "Эпиномис" очень хорошо определяет отношение греков к древним культурам востока:
"Что бы эллины не перенимали от варваров, они всегда доводили это до более высокого совершенства".
Б. Л. ван дер Варден
 
Во всей истории нет ничего более удивительного и ничего более трудного для объяснения, чем внезапное возникновение цивилизации в Греции.
Многое из того, что создает цивилизацию, уже существовало в течение тысячелетий в Египте и Месопотамии и распространилось оттуда в соседние страны. Но некоторых элементов недоставало, пока они не были восполнены греками.
Чего они достигли в искусстве и литературе, известно каждому, но то, что они сделали в чисто интеллектуальной области, является даже еще более исключительным.
Они изобрели математику (арифметика и кое-что из геометрии были уже у египтян и Вавилонии, но по преимуществу в форме чисто эмпирических правил; дедуктивное умозаключение из общих посылок — греческое нововведение),
они изобрели науку и философию; на место простых летописей они впервые поставили историю;
они свободно рассуждали о природе мира и целях жизни, не обремененные путами какого-либо традиционного ортодоксального учения.
Происшедшее было настолько удивительным, что люди до самого последнего времени довольствовались изумлением и мистическими разговорами о греческом гении.
Однако вполне возможно понять развитие Греции в научных терминах и такое исследование стоит затраченного времени.
Б. Рассел
 
Возможно, что восточная математика — это интересная диковинка, но греческая математика — это серьезная вещь.
Греки, как выразился однажды Литтвуд, это не способные школьники или хорошие студенты, но скорее "коллеги из другого колледжа".
Греческая математика "вечна", даже более вечна, чем греческая литература.
Архимеда будут помнить, когда Эсхила забудут, так как языки умирают, а математические идеи — нет.
Г. Х. Харди
7.3.1.5.1. Краткий обзор того, что было до греков
7.3.1.5.2. По-видимому, все дело — в осознании мощи аксиоматического дедуктивного метода
История математики с древнейших времен
до начала XIX столетия.
Под редакцией А.П. Юшкевича.
Том 1: С древнейших времен до начала Нового времени.
М.: Наука, 1970, сс. 58 — 62.
(Саму эту книгу можно взять здесь)
От математики древнего Востока до нас дошли отдельные задачи с решениями и таблицы. В древней Греции мы наблюдаем уже совершенно новое явление — рождение науки, основанной на строгих доказательствах.
Этот важнейший скачок в истории науки относится к тем же VI — V вв. до н. э., которые отмечены такими бессмертными творениями греческого гения, как создание демократического государства и появление трагедии и комедии. Каждого из них было бы достаточно, чтобы считать это время важнейшей вехой в истории человечества, а появление всех трех граничит с чудом.
Помимо материковой Греции, островов и малоазиатского побережья, греки с давних пор стали селиться и в других странах. Греческие колонии в Италии получили название "Великой Греции" (об этих колониях напоминает греческое название Неаполя).
В VI в. до н. э. в большинстве греческих государств происходят восстания, результатом которых явилась смена господства рабовладельческой аристократии правлением народа — демократией, конечно также рабовладельческой. Они первые и единственные в то время, — говорил Лисий о греках, — изгнали бывших у них царей и установили у себя демократию, полагая, что свобода всех производит величайшее единодушие ... Властвовать друг над другом посредством насилия, думали они, свойственно диким зверям, а люди должны законом определить справедливое, словом убедить, делом повиноваться тому и другому; закон должен быть царем, слово — наставником.
Конечно, с нашей точки зрения античная демократия была весьма ограничена, а экономические основы античного общества — весьма несовершенны. В управлении государством могли принимать участие только свободные граждане, и притом только мужчины, — из общественной жизни исключались женщины, уроженцы других областей и тем более рабы.
Но даже такая ограниченная демократия принесла на первых порах совершенно удивительные плоды.

В начале V в. до н. э. на молодые города-государства Греции обрушился страшный враг — персы. Первым завоеванием персов было ионийское побережье (VI в. до н. э.). После потери Ионии на первое место выдвигается Аттика в материковой Греции и ее столица Афины.
Аттика и становится во главе сопротивления персам и сплачивает вокруг себя греческие государства. Неисчислимые, необозримые слала Азия полчищ тучи против Эллады, — писал Эсхил. Греки никогда не видели столь многочисленного войска.
Объединившись, они выступили против персов и дважды одержали победы — в 490 г. при Марафоне и десять лет спустя при Саламине. Последняя битва и решила исход войны.
И поэты и историки античности, обдумывая вопрос о том, почему маленькая Греция сумела дать отпор намного ее превосходящим по численности ордам захватчиков, единодушно приписывали свою победу возникшему у них новому демократическому строю.
В трагедии Эсхила "Персы" мать персидского царя Дария Атосса спрашивает у хора: "Кто ж погонщик властный войска, самодержец кто у них?" — и с удивлением выслушивает ответ: "Не рабы они, владыка, не подвласны никому". В греко-персидских войнах свободные граждане Эллады одержали верх над бесправными рабами персидского царя.

Такую же величайшую победу они одержали и в науке.
После победы над персами Афины становятся политическим и культурным центром Греции. Происходит реконструкция города, который был почти полностью сожжен, строится Парфенон, все скульптуры которого создаются знаменитым Фидием и его учениками. Афины украшаются многочисленными храмами, заново отстраивается военный и торговый порт — Пирей.
Конец V — начало IV в. до н. э. — это золотой век Афин. Сюда стекаются замечательные люди со всех сторон античного мира: Анаксагор из Клазомен, Демокрит из Абдер, Гиппий из Элиды, Феодор из Кирены, врач Гиппократ из Косса, Аристотель из Стагиры.
Их привлекает интенсивная интеллектуальная жизнь, кипящая в Афинах, где Сократ умел будить мысль своих слушателей и помогал ее рождению, где была создана знаменитая Академия Платона, а затем и не менее знаменитый Ликей Аристотеля — прообраз будущих университетов.
Однако уже в конце V в. разражается затяжная Пелопоннесская война, которая подрывает мощь Афин. В последней трети IV в. на политическую арену древнего мира выступает Македония. В 337 г. Филипп разбил объединенные силы греческих городов, а его сын Александр (356 — 323 гг. до н. э.), закрепив гегемонию Македонии в Греции, начал завоевание Востока.
После походов Александра Македонского во всех покоренных им странах получают широкое распространение греческий язык и греческая культура, которая сплавляется с культурой покоренных народов в так называемую эллинистическую культуру.

Греческая наука
Мы видели, что в странах древнего Востока были накоплены математические факты, методы решения задач, примеры приближенных вычислений. Однако математики как науки в нашем теперешнем понимании, т. е. развитой дедуктивной системы предложений, не было.
Изложение в дошедших до нас сборниках задач было догматическим, без обоснования правильности предлагаемых правил. Напомним еще, что математика на древнем Востоке развивалась крайне медленно. На протяжении веков и даже тысячелетий не было заметно никакого прогресса.
Примерно на таком же (или более низком) уровне были и математические знания в Греции VIII — VII вв. до н. э. Но вот в VI в. положение резко меняется. Математика с поражающей быстротой преобразуется в абстрактную дедуктивную науку, в которой основным методом установления истины и исследования связи между предложениями становится логическое доказательство.
Как писал Аристотель, доказательство выявляет сущность вещей. При этом вторая функция доказательства (выяснение связей) не менее важна, чем первая, т. е. установление истины.
Часто бывает, что в истинности некоторого предложения никто не сомневается (как это было около двух тысяч лет с постулатом о параллельных), но все-таки упорно ищут для него доказательства, чтобы установить, от каких предложений оно зависит.
Иногда случается и так, что предложение уже доказано, но математики ищут новых доказательств, потому что старое кажется им искусственным или основанным на излишних посылках или еще потому, что они предугадывают связи рассматриваемого предложения с другими частями математики и хотят более точно выявить эти связи.
Так было, например, с квадратичным законом взаимности — одной из центральных теорем теории чисел, для которой Гаусс нашел восемь различных доказательств (а теперь их известно уже около 40), с так называемой "основной теоремой алгебры" и рядом других предложений.
Таким образом, доказательства служат в математике средством упорядочения предложений, исследования их взаимных зависимостей или, если угодно, средством организации системы и понижения ее энтропии. Слова Аристотеля показывают, что греки поняли эту сторону дедуктивного метода.

В VI веке до н. э. были построены не только первые математические теории, но и первые математические модели мира. В это время ученые пришли к мысли, к которой возвращались затем не раз, что математика является универсальным языком для выражения законов природы, что "все есть число".
В течении следующих трех веков создаются теории, тонкость и глубина которых были поняты и оценены только в XIX в., а иногда лишь в XX в.
Приведем для примера теорию отношений Евдокса, которая по существу совпадает с обоснованием действительного числа, предложенным в конце прошлого века Дедекиндом. Формальная логика Аристотеля подверглась исчерпывающему анализу только в наши дни.
При этом стиль математических произведений того времени не отличался от современного. Теория строилась исходя из конечного числа посылок, и ее положения выводились из них с помощью конечной цепочки логических умозаключений. Такой метод изложения греки нашли впервые, показав как можно и как нужно строить науку.
В настоящее время мы присутствуем при проникновении математических методов в химию, биологию, психологию, экономику и языкознание. Но даже теперь такое преобразование новых областей науки является весьма нелегким делом, не говоря уже о той инерции умов, которую всякий раз приходится преодолевать. Можно себе представить, как трудно было впервые проделать этот путь.

Как же это произошло? Почему стал возможен такой скачок?
По-видимому, он не мог быть вызван внутренними потребностями самой математики, находившейся еще на невысокой ступени развития. Он не мог быть вызван и потребностями техники, потому что техника античной Греции мало чем отличалась от той, которая была в древнем Вавилоне или Египте, а несколько позднее в Риме.
В своей книге "История эмбриологии" Нидэм отмечает, что в древнем Египте уже со времен Среднего царства применялись инкубаторы, но не было эмбриологии, в Греции же, наоборот, не было инкубаторов, но была эмбриология.
С другой стороны, аналогичные изменения в то время произошли не только в математике. Догматы религии были поколеблены. Появились первые натурфилософские школы, которые создали модели мира, основываясь на наблюдениях и логических рассуждениях. Греческие мыслители пытались так же, как это делали математики, вывести строго логически всю систему мира из конечного числа положений, принимаемых без доказательства.
А теории и возражения своих противников они старались опровергнуть, найдя в их рассуждениях логическое противоречие или показав, что следствие из выдвигаемых ими положений ложно (доказательство от противного!).
Научная полемика очень характерна для этого времени. Столь же характерны и политические дебаты, и публичные выступления в судах. Причем и здесь, и там стороны стремятся обосновать свои положения при помощи безупречной аргументации и показать логическую шаткость утверждений противника.
Проходит немного времени, и начинается исследование законов самой логики, что находит блестящее завершение в системе Аристотеля.
Наукой занимались тогда еще не профессионалы, специально оплачиваемые за это обществом, а, как бы мы сказали теперь, любители, располагавшие возможностью ту или иную часть своего времени уделять размышлениям, не связанным с повседневными заботами.
Впрочем, уже тогда были платные учителя, а несколько позднее в Александрии возникла своего рода высшая школа наук, финансируемая государством.
Появление досуга объясняется не высокой производительностью труда и применением машин, как это имеет место в нашем обществе, а применением труда рабов.
7.3.1.5.1. Краткий обзор того, что было до греков
7.3.1.5.2. По-видимому, все дело — в осознании мощи аксиоматического дедуктивного метода
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Античная арифметика \