Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Что такое "множество" (более подробно) \

9.2.3. Отрывок из книги К. Куратовского
и А. Мостовского "Теория множеств" (1967г.) ©

Теория множеств была создана работами математиков XIX века, которые ставили себе целью разработку оснований анализа. Первые работы в этой области (Больцано, Дюбуа-Реймон, Дедекинд) были посвящены числовым множествам или множествам функций, и, собственно, только основатель теории множеств Георг Кантор сделал решительный шаг и начал рассматривать множества произвольных элементов.
О том, что шаг к общности, сделанный Кантором, был трудным, свидетельствуют различные противоречия (антиномии теории множеств), открытые разными авторами к 1900 г.
Кризис, вызванный этими антиномиями, был преодолен Цермело, сформулировавшим в 1904 — 1908 гг. первую систему аксиом теории множеств. Его аксиом оказалось достаточно, чтобы получить важные для математики результаты из теории множеств, и в то же время эти аксиомы не позволяли построить никакой из известных антиномий.
Тесная связь между теорией множеств и философией математики породила дискуссии о природе антиномий и различных аксиоматизациях теории множеств. Фундаментальные проблемы философии математики, такие, как понятие существования в математике, аксиоматические версии описания действительности, необходимость доказательств непротиворечивости и средства, допустимые в таких доказательствах, нигде не были выяснены лучше, чем в этих дискуссиях.

После начального периода недоверия началось триумфальное шествие вновь созданной теории множеств во всех областях математики. Ее влияние на математику нашего века ясно видно в выборе современных проблем и в тех методах, которыми эти проблемы решаются. Применение теории множеств является повсеместным.
Вместе с тем в теории множеств возникли и свои собственные проблемы. Эти проблемы и их решения составляют то, что обычно называют чистой теорией множеств. Здесь достижения более скромны, чем в применениях теоретико-множественных методов в других областях математики — некоторые из этих областей просто обязаны своим существованием теории множеств.
Тем не менее чистая теория множеств является вполне сложившейся частью математики и знание ее основных понятий обязательно для каждого математика.