Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Георг Кантор как создатель теоретико-множественной математики \ Рождение теории трансфинитных множеств \

9.3.1.5. Континуум-гипотеза
и первый нервный срыв ©

Несмотря на значительные результаты, полученные Кантором в 1880-х годах, в теории множеств имелся серьёзный пробел. Вопрос о кардинальном числе (или мощности в первоначальной терминологии Кантора) континуума действительных чисел оставался нерешённым.
Напомним, что в статье, опубликованной в 1883 г., Кантор определил последовательность трансфинитных ординальных чисел в соответствии с двумя принципами порождения. Чтобы ввести естественные подразделения в эту последовательность, он добавил третий принцип.
Рассмотрим множество всех конечных целых чисел, которое Кантор назвал первым числовым классом. Его мощность или кардинальное число больше, чем мощность, соответствующая любому подмножеству этого множества.
Аналогично, можно рассмотреть и множество всех трансфинитных ординальных чисел, соответствующих счётным бесконечным множествам или, другими словами, множествам, мощность которых равна мощности множества всех целых чисел. Кантор назвал это множество трансфинитных ординальных чисел вторым числовым классом.
Оказывается, мощность второго числового класса больше мощности, соответствующей любому из трансфинитных чисел, входящих в это множество. Короче, второй числовой класс представляет собой несчётное множество. Кантор был убеждён, что мощность второго числового класса эквивалентна мощности континуума действительных чисел, хотя он так и не сумел доказать это.

Эта догадка известна как континуум-гипотеза Кантора и никогда не была доказана.
В 1963 г. П. Дж. Коэн из Станфордского университета, опираясь на работу Курта Гёделя и математиков из Института высших исследований, показал, что, хотя эта гипотеза не противоречит аксиомам общепринятой теории множеств, она вместе с тем и не следует из них.
Фактически роль континуум-гипотезы в теории множеств такая же, как роль евклидовского постулата параллельности в геометрии. При допущении истинности или ложности гипотезы континуума можно построить различные версии теории множеств точно так же, как при допущении истинности или ложности аксиомы параллельности можно строить евклидову или неевклидовы геометрии (см. П. Дж. Коэн, Р. Херш «Неканторовская теория множеств», Scientific American, декабрь, 1967 г.).

Кантору тяжело было сознавать безуспешность своих усилий доказать континуум-гипотезу, что явилось, по-видимому, одной из причин стресса. В начале 1884 г. он вроде бы нашёл доказательство, но несколько дней спустя убедился в его ошибочности.
В течение всего этого периода он испытывал возрастающую оппозицию и нападки со стороны Кронекера, готовившего, по его утверждению, статью, в которой будет показано, что «результаты современной теории функций и теории множеств не имеют реального значения».
Вскоре после этого, в мае 1884 г., Кантор испытал серьёзное нервное расстройство. Осознание неудачи в решении проблемы континуума и нападки Кронекера могли способствовать этому срыву.
Однако эти отрицательные факторы, конечно, не были причиной его болезни, которая прогрессировала очень быстро. В конце июня 1884 г. после «выздоровления» и наступления фазы депрессии Кантор жаловался на упадок сил и потерю интереса к занятию математикой.
Он довольствовался лишь выполнением незначительных административных обязанностей в университете и не чувствовал себя способным на большее.
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Георг Кантор как создатель теоретико-множественной математики \ Рождение теории трансфинитных множеств \