Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Георг Кантор как создатель теоретико-множественной математики \
 

9.3.1 Рождение теории
трансфинитных множеств ©

 
 
Насколько велико бесконечное множество? Кантор доказал существование иерархии бесконечностей, каждая из которых «больше» предшествующей.
Его теория множеств — один из краеугольных камней математики.
Джозеф У. Даубен
9.3.1.1. Начало размышлений о соотношении точек в континууме
9.3.1.2. Идея взаимно-однозначного соответствия
9.3.1.3. Разные точки зрения по вопросу о допустимости математических объектов
9.3.1.4. Трансфинитные ординальные числа       9.3.1.5. Континуум-гипотеза и первый нервный срыв
9.3.1.6. Частичное изменение интересов и развитие идеи кардинальных трансфинитных чисел
9.3.1.7. Последние значительные результаты
9.3.1.8. О связи между болезнью Кантора и его научным творчеством
Природа бесконечности всегда была предметом спора. О том, что она интересовала ещё древних мыслителей, свидетельствуют знаменитые парадоксы Зенона Элейского, который доказывал, что движение мыслить невозможно, поскольку движущийся объект проходит бесконечное число точек в конечное время.
Разработанное Ньютоном в XVII в. исчисление бесконечно малых позволило по-новому подойти к описанию движения, однако математически строгая формулировка инфинитезимальных идей была предложена лишь спустя два с лишним столетия.
Впоследствии проблемы, связанные с бесконечностью, стали рассматриваться в теории множеств, ставшей по существу фундаментом современной математики. Следует отметить, что в ходе своего развития идея бесконечности имела теологический оттенок, порой игравший определённую роль в решении вопроса о приемлемости математических и философских теорий, связанных с понятием бесконечности. Всё сказанное имеет отношение к жизни и деятельности немецкого математика Георга Кантора.
Сущность трудов Кантора хорошо известна: разработав то, что он назвал арифметикой трансфинитных чисел, он придал математическое содержание идее актуальной бесконечности. При этом он заложил основы теории абстрактных множеств и внёс существенный вклад в основание анализа и в изучение континуума вещественных чисел.
Самое замечательное достижение Кантора состояло в доказательстве того, что не все бесконечные множества количественно эквивалентны, т.е. имеют одинаковую мощность, а потому их можно сравнивать друг с другом.
Например, множество точек прямой и множество всех рациональных чисел являются бесконечными. Кантор сумел доказать, что мощность первого множества превосходит мощность второго.
Идеи Кантора оказались столь неожиданными и противоречащими интуиции, что знаменитый французский математик Анри Пуанкаре назвал теорию трансфинитных чисел «болезнью», от которой математика должна когда-нибудь излечиться. Леопольд Кронекер — учитель Кантора и один из самых авторитетных математиков Германии — даже нападал на Кантора лично, называя его «шарлатаном», «ренегатом» и «растлителем молодежи».

Известно также, что Кантор был подвержен «нервному заболеванию», участившемуся с возрастом и всё более ослаблявшему его. Эти расстройства были, по-видимому, симптомами болезни мозга. Недавнее исследование английского историка математики Айвора Граттана-Гинеса, опиравшегося на анализ истории болезни Кантора, хранящейся в психиатрической лечебнице в Галле (Германия), говорит о том, что Кантор страдал маниакально-депрессивным психозом.
Поэтому для многих биографов Кантора характерно стремление представить учёного, пытавшегося защитить свою сложную теорию, но всё более подверженного длительным нервным расстройствам, как несчастную жертву гонений со стороны современников.
Такие представления искажают истину, сводя к тривиальности действительные интеллектуальные устремления непредвзято мыслящих противников канторовской теории. Они также умаляют силу и широту защиты Кантором своих идей. Сначала он воздерживался от введения трансфинитных чисел, считая, что идею актуальной бесконечности нельзя сформулировать непротиворечиво, а потому ей не место в строгой математике.
Однако, по его собственному свидетельству, он вскоре преодолел своё «предубеждение» в отношении трансфинитных чисел, ибо понял, что без них нельзя построить теорию бесконечных множеств. Собственные первоначальные сомнения позволили Кантору предвосхитить оппозицию с разных сторон и вооружиться как философскими и теологическими, так и математическими аргументами. Более того, отстаивая свою теорию, он сумел придать идеям, лежащим в её основе, значительную силу.

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился 3 марта 1845 г. в России, в Санкт-Петербурге. Его мать, Мария Анна Бём, происходила из семьи талантливых музыкантов; наиболее известным был её дядя Жозеф Бём, директор консерватории в Вене и основатель школы скрипачей, откуда вышли многие виртуозы того времени. Его отец Георг Вольдемар Кантор был удачливым коммерсантом и благочестивым лютеранином, передавшим сыну глубокие религиозные убеждения.
В своей популярной книге «Люди математики», впервые опубликованной в
1937 г., Э. Белл отмечает, что причиной психических расстройств, которым был подвержен Кантор, является Эдипов комплекс. Однако сохранившиеся письма и другие свидетельства об отношениях Георга с отцом указывают на совершенно противоположное. Отец был чутким человеком, внимательным к своим детям и проявлял особый, но ненавязчивый интерес к воспитанию старшего сына.
Когда Кантор был ещё ребёнком, семья переехала из России в Германию, и именно там началось его обучение математике. Защитив в 1868 г. диссертацию по теории чисел, он получил степень доктора в Берлинском университете. Два года спустя он занял должность приват-доцента в Университете в Галле — респектабельном учреждении, но не столь престижном для математиков, как университеты в Гёттингене или Берлине.
Один из его коллег в Галле, Генрих Эдуард Гейне, работал в то время над теорией тригонометрических рядов и он побудил Кантора заняться сложной проблемой единственности таких рядов. В 1872 г. в возрасте 27 лет Кантор опубликовал статью, содержавшую весьма общее решение этой проблемы, в которой он использовал идеи, выросшие впоследствии в теорию бесконечных множеств.
Фотография Кантора и его жены (примерно
1880 г.). К этому времени его работы уже получили известность. В одной из них он доказал, что бесконечное множество действительных чисел, представленное континуумом точек на прямой, больше бесконечного множества всех рациональных чисел.
Он показал также, что можно определить бесконечные величины, названные трансфинитными числами, которые описывают такое различие.
Через несколько лет после того, как был сделан этот снимок, Кантор испытал сильный приступ маниакально-депрессивного психоза, который в конце концов положил конец его творческому пути в математике. Оригинал этой фотографии находится в частной коллекции Эгберта Шнайдера.
9.3.1.1. Начало размышлений о соотношении точек в континууме
9.3.1.2. Идея взаимно-однозначного соответствия
9.3.1.3. Разные точки зрения по вопросу о допустимости математических объектов
9.3.1.4. Трансфинитные ординальные числа       9.3.1.5. Континуум-гипотеза и первый нервный срыв
9.3.1.6. Частичное изменение интересов и развитие идеи кардинальных трансфинитных чисел
9.3.1.7. Последние значительные результаты
9.3.1.8. О связи между болезнью Кантора и его научным творчеством
  К началу данной страницы  
Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Георг Кантор как создатель теоретико-множественной математики \