Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Георг Кантор как создатель теоретико-множественной математики \ Рождение теории трансфинитных множеств \

9.3.1.3. Разные точки зрения по вопросу
о допустимости математических объектов ©

Полемика между Кантором и Кронекером усугублялась личной враждебностью, однако её причиной было различие во взглядах на обоснование математики. Подобные различия во взглядах и сейчас находят отражение в споре между сторонниками конструктивистской и формальной математики.
Кронекер, сторонник конструктивизма, хорошо известен своим высказыванием, резюмирующим сущность его позиции: «Бог создал целые числа; всё остальное — дело рук человеческих». В этом духе он защищал построение всей математики из целых чисел и их конечных арифметических комбинаций.
В начале 1870-х годов он стал отвергать любые предельные построения в традиционном анализе и сопротивлялся всем попыткам определять математические объекты через понятие предела. Так, даже иррациональные числа, которые принимались математиками в течение столетий, должны быть, по его мнению, «изгнаны» из математики, если нельзя найти какого-либо способа их построения, подобного тому, каким из целых чисел строились рациональные числа.

Кантор, написавший две большие статьи под руководством Кронекера в свои студенческие годы в Берлинском университете, хорошо знал эту крайнюю позицию Кронекера и в какой-то мере считал её оправданной. Она гарантировала максимальную достоверность и корректность математического доказательства и сдерживала распространение слишком вольных подходов в математике.
Тем не менее Кантор считал, что принятие позиции Кронекера означало бы изгнание из математики многих значительных результатов; более того, она обременила бы новаторские исследования в математике стесняющими и в конечном счёте бесплодными методологическими предосторожностями.
Определение иррациональных чисел, данное Кантором в статье, опубликованной в 1874 г., было равносильно принятию существования завершённых бесконечных множеств. Кантор занял позицию формальной математики в вопросе существования иррациональностей и утверждал, что единственным основанием их законности в математике является их формальная и внутренняя непротиворечивость.
«При введении новых чисел, — писал он однажды, — от математика требуется только дать им определения, которые позволят... отличать их друг от друга. Как только число удовлетворяет этим условиям, оно может и должно рассматриваться как существующее и реальное в математике».

Эта точка зрения на иррациональные числа оказалась решающей для оправдания Кантором введения трансфинитных чисел. В статье, опубликованной в 1872 г., он определил множества исключительных точек, введя понятие предельной точки. Например, иррациональное число   2 представляет собой предельную точку последовательности 1; 1,4; 1,41; ... .
В более общем случае некоторая точка является предельной, если в множестве имеется бесконечно много элементов, которые расположены в произвольно малой окрестности этой точки.
Для данного бесконечного множества P Кантор определил производное множество P1 как множество всех предельных точек P.
Аналогично, если P1 также является бесконечным множеством, то его производное множество P2 можно определить как множество всех предельных точек множества P1.
Кантор показал, что отношение включения определяет естественное упорядочение для множеств: оказывается, что всякий элемент множества P2 является и элементом множества P1, и, таким образом, P2 является подмножеством P1; аналогично P3 является подмножеством P2 и так далее.

Может оказаться, что для некоторого конечного целого числа n производное множество Pn представляет собой уже конечное (а не бесконечное) множество.
Если это условие выполняется, то бесконечное множество P, порождающее Pn, есть в точности множество исключительных точек, которое позволяет доказать достаточно общий вариант канторовской теоремы о единственности представления функций тригонометрическими рядами.
С другой стороны, может также оказаться, что никакое множество в последовательности P1, P2, P3, ... не будет конечным.
Кантор считал, что в этом случае имеет смысл рассматривать множество точек, которые являются общими для всех производных множеств P1, P2, P3, ..., Pn, ... .
Множество точек, общих всем этим производным множествам, он обозначил через P; в 1880 г. он начал называть знак трансфинитным символом.
Более того, если бы P оказалось бесконечным множеством точек, то тогда можно было бы образовать его производное множество P∞ + 1, которое могло бы в свою очередь привести к целой последовательности производных множеств P∞ + 2, ... .
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Георг Кантор как создатель теоретико-множественной математики \ Рождение теории трансфинитных множеств \