Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Георг Кантор как создатель теоретико-множественной математики \ Рождение теории трансфинитных множеств \

9.3.1.6. Частичное изменение интересов
и развитие идеи
кардинальных трансфинитных чисел ©

Хотя Кантор порой возвращается к математике, его всё более увлекают другие интересы.
Начав изучать английскую историю и литературу, он становится участником спора, который вели в то время многие учёные, — спора относительно предположения, что автором шекспировских пьес был Френсис Бэкон.
Кантор пытался, но безуспешно преподавать философию вместо математики и начал переписываться с некоторыми теологами, проявившими интерес к философским выводам из его теории бесконечности.
Эта переписка имела особое значение для Кантора, так как он был убеждён, что идея трансфинитных чисел была ниспослана ему богом. Он очень хотел, чтобы его идеи были изучены теологами с целью согласования его концепции бесконечного с церковным учением.
Важно отметить, что Кантор способствовал созданию профессионального объединения — Немецкого математического общества, назначение которого состояло в содействии развитию математики в Германии.
Он считал, что его научная карьера пострадала от предубеждённого отношения к его трудам, и надеялся, что независимая организация позволит молодым математикам самостоятельно судить о новых, возможно, радикальных идеях и побудит их заняться этими идеями.

Последним элементом теории бесконечных множеств, который оставался ещё «не доработанным», был вопрос о природе и статусе трансфинитных кардинальных чисел.
Эволюция мыслей Кантора относительно этого предмета любопытна, поскольку трансфинитные кардинальные числа были той завершающей частью его теории, которой нужно было дать строгое определение и присвоить специальный символ.
Сейчас трудно с полной ясностью представить ту неизвестность, в которой продвигался вперёд Кантор. До сих пор я описывал его работы, как если бы он уже пришёл к выводу, что мощность бесконечного множества можно определять как кардинальное число.
Фактически, хотя Кантор понимал, что именно мощность множества указывает на его эквивалентность (или неэквивалентность) любому другому множеству, он первоначально избегал предположения, что мощность бесконечного множества можно интерпретировать как некоторое число.
Эти два понятия Кантор начал отождествлять в сентябре 1883 г.; однако всё ещё не было символа, позволяющего отличать одно трансфинитное число от другого.
Так как он уже принял символ ω для обозначения наименьшего трансфинитного ординального числа, то ясно, что ординальные числа были значительно более важными, чем кардинальные, для раннего концептуального развития канторовской теории множеств.
Решив ввести символ для обозначения первого трансфинитного кардинального числа, Кантор заимствовал его из символов, уже использовавшихся для обозначения трансфинитных чисел: первое трансфинитное кардинальное число было записано в виде ω*.
Кантор не пользовался алефами в качестве символов до 1893 г. Примерно в это время итальянский математик Джулио Виванти готовил общее изложение теории множеств, и Кантор понимал, что необходимо принять стандартные обозначения.
Тогда для обозначения трансфинитных кардинальных чисел он выбрал алефы, считая, что известные греческие и римские алфавиты слишком широко использовались в математике. Выбранная буква א была доступна для набора в немецких типографиях.
Этот выбор Кантор обосновывал ещё и тем, что еврейский алеф был одновременно символом числа 1. Поскольку сами трансфинитные кардинальные числа были бесконечными единицами, алеф можно было взять для обозначения нового понятия в математике.
Кардинальное число первого числового класса, которое раньше Кантор обозначал через ω*, он теперь обозначил через א0א (алеф-нуль); кардинальное число второго числового класса стало обозначаться символом א1א (алеф-один).
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Георг Кантор как создатель теоретико-множественной математики \ Рождение теории трансфинитных множеств \