Начало см. здесь и здесь.

"Дереву Конвея" посвятил одну из своих замечательных статей Дональд Кнут.
Он пишет: ... Это уникальное событие в моей жизни. Оно произошло в ранних 70-ых.
Я познакомился с Джоном Конвейем, вероятно с одним из величайших математиков.
Я встретил его по пути в университет Калгари в 71-м и мы вместе пообедали. Он набросал на салфетке новую теорию, которая пришла ему в голову, и, на мой взгляд, она была действительно потрясающей. Это чисто математическая теория о новом способе определения чисел...

Тут следует отметить, что "числа Конвея" обычно сравнивают с так называемыми "действительными числами". И что "система действительных чисел" обычно квалифицируется как "основная числовая система в математике". В самом деле, на первом курсе любого вуза естественно-научной направленности студента неизбежно встречают математический анализ и аналитическая геометрия. Оба эти предмета предполагают знание теории действительных чисел.

Например, П. С. Александров в начале своего Курса пишет: ... Мы не будем также определять вещественные (действительные) числа, хотя будем ими постоянно пользоваться: подробная теория вещественных чисел излагается в первых главах любого современного курса анализа, и читатель должен ее хорошо знать.

Однако, творчество Конвея показывает, что действительные числа можно и самостоятельно изобрести в приятной игровой (и даже азартной!) форме: "Все эти игры поставляли данные для теории сюрреальных чисел Конвея. Лучшими подопытными игроками были его собственные дочки, Сьюзи и Рози, 7 и 8 лет".

Нас теория Конвея будет интересовать также и как еще одно указание на возможность зарождения теории действительных (и близких к ним) чисел путем мышления в терминах пар противоположностей. Основной движущей парой противоположностей в арифметике Конвея является пара up и down. Мы увидим, что на некотором уровне абстракции действия операторов up и down неотличимы от действий операторов V и H из любимой модели. Причем эта аналогия станет еще более убедительной при музыкально - теоретической интерпретации операторов V и H.

Более подробно эта мысль прорабатывалась в дискуссии на Facebook.

2. На теории Конвея можно обучать самостоятельному творчеству в математике

В упомянутой статье Дональд Кнут продолжает: Год спустя я был в отпуске в Норвегии и посреди ночи ко мне пришла мысль «Вау, эта теория так красива, что было бы интересно рассказать историю, написать книгу, в которой герои откроют теорию Конвея. Они найдут её правила на каменной скрижали, расшифруют её и смогут сами доказать все эти вещи о бесконечности и прочем».

Смысл в том, чтобы таким способом научить людей проводить исследования, чтобы студенты могли не только изучать то, что сделали другие люди, но и сами открывали что-то новое в математике. И всё это может быть представлено в форме истории, где персонажи выясняют все эти вещи самостоятельно. Поэтому я подумал, что из этого может получиться действительно классная книга, и она может быть использована в качестве дополнения. Я думал о том, что учителя в старших школах могли бы советовать её своим ученикам, чтобы они могли увидеть, как совершаются открытия в математике.

Книга она как опера. Знаете оперы, в которых есть хорошая музыка, но мало сюжета? В моей книге была хорошая математика и лишь немного сюжета. Математическую часть я воспроизводил самостоятельно. Я помнил, что Конвей набросал теорию на салфетке, но я её потерял. Я пытался вспомнить, что же там было написано, и что он говорил мне год назад. Я пытался восстановить эту теорию из памяти и вывести её самостоятельно, так как это то, что делают герои в моей книге. Я проводил свое собственное исследование и решил, что, если где-то допущу ошибку, то непременно внесу это в книгу, и мои персонажи допустят ту же самую ошибку. Я хотел, чтобы книга была подлинным представлением о математических исследованиях.

Обобщая эти рассуждения, можно предположить, что еще лучше обучать людей самостоятельному творчеству в математике на теории, описывающей не одно, а целых два Дерева, находящиеся между собой в определенных отношениях. Такая теория приведена здесь. Причем обучать творчеству не только лишь в одной чистой математике, но и одновременно в логике, информатике, программировании и прочем Computer Science.

Продолжение см. здесь.