Наипростейшая арифметическая системка

Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Основания математики \

9.6.4.1. Наипростейшая
арифметическая системка

Один из вопросов, часто задаваемых философами, когда речь заходит о математике, следующий: откуда берется такая уверенность в математических теоремах?

Как математика обретает свою очевидность, свою неоспоримую истинность?

Ответ интуиционистов заключается в том, что основные понятия математики столь просты, даже тривиальны, что не возникает и тени сомнения в их свойствах.

... мы ищем такие основания математики, которые были бы понятны сразу, без философских хитросплетений.

Арен Гейтинг

9.6.4.1.1. Числа-отрезки у Евклида

9.6.4.1.2. Аксиома коммутативности и одно свойство четных чисел

Какая математическая система могла бы быть названа "наипростейшей" числовой системой? По-видимому — та, которая формализуется при помощи "арифметики Пресбургера":

Статья о ней в русской Википедии;

см. также http://en.wikipedia.org/wiki/Presburger_arithmetic

и http://mathworld.wolfram.com/PresburgerArithmetic.html

В настоящем Разделе я представлю аксиоматизацию этой системы, удобную для своих последующих целей. Предварю же это начинание следующим напутствием из Расевой и Сикорского:

В аксиоматических теориях принимается система элементарных понятий, характеризуемых некоторым множеством аксиом.

Другие понятия теории определяются через эти элементарные понятия.

Утверждения, являющиеся следствием аксиом, называются теоремами теории.

Все свойства какого-нибудь понятия, не выраженные в аксиомах, требуют доказательства (Е. Расева, Р Сикорский).

Таким образом, мы желаем аксиоматизировать некоторую систему следующего вида:

N = < N, + >

где N есть некоторое непустое множество, элементы которого будем называть "числами";

+ есть некоторая бинарная операция на множестве N, которую будем называть "операцией сложения".

Теоретические рассуждения будем иллюстрировать понятными визуальными образами, к использованию которых, в принципе, "когда-то очень давно" прибегал и Евклид (возможно потому, что продуктивность "правополушарного стиля мышления" была вполне осознана уже тогда — пусть даже и на интуитивном уровне).

Согласно пифагорейскому определению
"числа составлены из единиц", что мы и будем изображать, как на рисунке слева.

Очень похоже на числа-отрезки у Евклида.

Алекс Павлов сравнил их с бамбуковыми удочками.

Операцию сложения на числах можно схематически изобразить так, как показано на рисунке ниже:

Эта операция будет единственным неопределяемым понятием нашей теории.

Далее мы будем характеризовать его при помощи аксиом.

Первая аксиома будет такой:

Аксиома (ассоциативность операции + сложения).

Для любых чисел x,y,z,

(x + y) + z = x + (y + z).

Теперь определим первое понятие нашей теории (на основе единственного неопределяемого понятия, т. е. на основе операции сложения). Этим первым определяемым понятием будет бинарное отношение "строго меньше" на множестве N чисел.

Определение (бинарное отношение < "строго меньше").
Для любых чисел x,y, x < y тогда и только тогда, когда существует число u такое, что u + x = y.

Наконец, докажем первую теорему нашей теории. Она будет касаться одного из свойств определенного выше отношения "строго меньше". Отметим, что при этом доказательстве будет существенно использоваться Аксиома ассоциативности операции сложения.

Теорема (транзитивность отношения < "строго меньше").
Для любых чисел x,y,z, если x < y и y < z, то x < z.

Доказательство.

(1) x < y - посылка;

(2) y < z - посылка;

(3) Существует число u
такое, что u + x = y - из (1) по Определению отношения < "строго меньше";

(4) Существует число v
такое, что v + y = z - из (2) по Определению отношения < "строго меньше";

(5) v + (u + x) = z - путем подстановки вместо y в (4) его значения из (3);

(6) (v + u) + x = z - из (5) по Аксиоме об ассоциативности операции + сложения;

(7) Существует число w (а именно, w = v + u)
такое, что w + x = z - из (6);

(8) x < z - из (7) по Определению отношения < "строго меньше".

Таким образом на данный момент мы постулировали одну аксиому, определили одно понятие и доказали одно из его свойств.

Пока, в принципе, все идет так, как и рекомендуют Расева с Сикорским. Дальнейшее развитие теории будет представлено в Подразделах данной Страницы.

9.6.4.1.1. Числа-отрезки у Евклида

9.6.4.1.2. Аксиома коммутативности и одно свойство четных чисел

К началу данной страницы