Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Основания математики \ Наипростейшая арифметическая системка \

9.6.4.1.2. Аксиома коммутативности
и одно свойство четных чисел

В качестве второй аксиомы для нашей системы мы выбираем аксиому коммутативности:
Аксиома (коммутативность операции + сложения).
Для любых чисел x,y,
x + y = y + x.
Принятие этой аксиомы позволяет нам доказать самое первое (!) предложение самой первой (!) научной теории (если "научными" считать теории, основанные на дедуктивном методе) — предложение о том, что сумма четных чисел является четным числом. Понятно, что для этого нужно сначала (следуя установлениям Расевой - Сикорского) легально определить понятие "четного числа" в нашей системе. Сделаем это:
Определение (четных чисел).
Для любого числа x,
x есть четное число тогда и только тогда,
когда существует число y
такое, что x = y + y.

Теперь мы в состоянии доказать желаемую теорему.
Теорема (сумма двух четных чисел является четным числом).
Для любых чисел x,y,
если  x есть четное число  и  y есть четное число,
то  (x + y) есть четное число.
Доказательство.
(1)  x есть четное число  -  посылка;
(2)  y есть четное число  -  посылка;
(3)  Существует число u
      такое, что x = u + u  -  из (1) по Определению четных чисел;
(4)  Существует число w
      такое, что y = w + w  -  из (2) по Определению четных чисел;
(5)  x + y = (u + u) + (w + w)  -  из (3), (4);
(6)  x + y = u + (u + (w + w))  -  из (5) по Аксиоме об ассоциативности операции + сложения;
(7)  x + y = u + ((u + w) + w)  -  из (6) по Аксиоме об ассоциативности операции + сложения;
(8)  x + y = u + (w + (u + w))  -  из (7) по Аксиоме о коммутативности операции + сложения;
(9)  x + y = (u + w) + (u + w)  -  из (8) по Аксиоме об ассоциативности операции + сложения;
(10)  Существует число v (а именно,  v = u + w)
      такое, что x + y = v + v  -  из (9);
(11)  x + y есть четное число  -  из (10) по Определению четных чисел.

Изящество этой дедукции вполне способно вызвать чувство легкого опьянения, о котором пишет Б. Рассел. Кроме того и мысль, высказанная в свое время Декартом, о том что "если воздерживаться от того, чтобы принимать за истинное что-либо, что таковым не является, и всегда соблюдать порядок, в каком следует выводить одно из другого, то не может существовать истин ни столь отдаленных, чтобы они были недостижимы, ни столь сокровенных, чтобы нельзя было их раскрыть", начинает все больше и больше укореняться в нашем мозгу.
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Основания математики \ Наипростейшая арифметическая системка \