Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Основания математики \ Набросок "алгебры прямоугольников" \ Основная группа аксиом \

9.6.4.5.1.2. Ассоциативные законы

Итак, приступаем к аксиоматизации системы RA. Сначала будем идти по пути, избранном для аксиоматизации "наипростейшей арифметической системки", просто раздваивая при этом все понятия, аксиомы и теоремы на "вертикальные" и "горизонтальные" и корректно работая с пресуппозициями и .
Следовательно, в качестве первой аксиомы постулируем ассоциативность операции горизонтального сложения.
Аксиома (ассоциативность операции горизонтального сложения, 1).
Для любых прямоугольников x,y,z,
если xy  и  (xy)z,
то yz  и  x(yz)  и  (xy)z = x(yz).
"Скользкие улицы, иномарки целуются ..." На приведенной анимации "целуются" прямоугольники, чтобы показать нам выполнимость нужных отношений горизонтальной совмещаемости. "Частичный" характер операции горизонтального сложения вынуждает нас принять для нее еще одну аксиому ассоциативности.
Аксиома (ассоциативность операции горизонтального сложения, 2).
Для любых прямоугольников x,y,z,
если yz  и  x(yz),
то xy  и  (xy)z  и  x(yz) = (xy)z.
Действительно, можно показать, что существуют системы, в которых будет истинна только одна из приведенных аксиом ассоциативности и не истинна другая. Мы же хотим, чтобы в аксиоматизируемой нами системе RA были истинны обе эти аксиомы.

Таким образом, мы имеем две аксиомы ассоциативности для операции горизонтального сложения прямоугольников. Следуя философскому постулату об абсолютном равноправии горизонтального и вертикального, добавим к этим аксиомам еще две "двойственные" акиомы ассоциативности для операции вертикального сложения прямоугольников (интуитивное представление об операции вертикального сложения см. здесь, а об отношении вертикальной совмещаемости — здесь).
Аксиома (ассоциативность операции вертикального сложения, 1).
Для любых прямоугольников x,y,z,
если xy  и  (xy)z,
то yz  и  x(yz)  и  (xy)z = x(yz).
Аксиома (ассоциативность операции вертикального сложения, 2).
Для любых прямоугольников x,y,z,
если yz  и  x(yz),
то xy  и  (xy)z  и  x(yz) = (xy)z.
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Теоретико-множественная математика \ Логика и методология дедуктивных наук \ Основания математики \ Набросок "алгебры прямоугольников" \ Основная группа аксиом \