Начало см. здесь.

Прежде всего мы "цепляемся" здесь за две вещи: за результаты исследований Ж. Пиаже, открывшего, что ребенок начинает достаточно рано овладевать первоначальными структурами проективной геометрии; и за слова Ф. Клейна, характеризующего лекции, прочитанные Понселе: "В этих лекциях ему удалось дать поразительно простые доказательства старых теорем с помощью методов проективной геометрии".

Но ведь это же хорошо, что методы проективной геометрии позволяют дать именно поразительно простые доказательства старых теорем. То есть способствуют упрощению доказательств, а не их усложнению. И Глава Государства призывает нас упрощать учебные программы, а не усложнять их.

Отношение гармонической сопряженности является очень важным понятием проективной геометрии (является одним из ее основных инвариантов). В том, что это действительно так, легко убедиться, просто пролистав известную книгу Х. С. М. Кокстера по проективной геометрии. В ней конструкция гармонической сопряженности интенсивнейшим образом используется на протяжении всей книги. Указанную книгу Кокстера можно взять здесь: http://px-pict.com/books/kokster.rar (это заархивированный djvu - файл).

Можно сделать предположение, что отношение "гармонической сопряженности", играющее такую важную роль в исследованиях по основаниям геометрии, было абстрагировано от определенных конструкций на монохорде. Во всяком случае, оно присутствует уже в древнейших дошедших до нас звукорядах, наподобие звукоряда Орфея. Гармоническую сопряженность точек N и M относительно точек A и B со звукоряда Орфея можно легко доказать при помощи построения, приведенного, например, у Кокстера. Тему по этим вопросам я веду на Facebook в группе "Just Intonation".

2. "Гармоническая сопряженность" в контексте
суперпаттерна полного бинарного дерева

Факт, что гармоническая сопряженность естественным образом возникает в контексте полного бинарного дерева, подтверждает ту мысль, что все четыре универсальные суперпаттерна теснейшим образом связаны друг с другом. А это позволяет нам плавно переходить от одного из них к другому не делая резких скачков по сложности.

Прямо сейчас можно отметить следующее обстоятельство (с прицелом на будущее). Дерево Штерна-Броко является (с некоторыми оговорками) "сетью рациональности" (или гармонической сетью Мебиуса). Более подробно о последней можно посмотреть здесь:

The Mobius net is the closure of {A, B, C} under the operation of harmonic conjugation... In extending the operation in a suitable way, one can associate to each point of the net, one and only one rational. This coordination has of course many interesting properties. First, the ordinal relation between rational coordinates is compatible with projective separation ...

Использование конструкций этой "гармонической сети" позволяет дать весьма простое для понимания изложение теории действительных чисел. Дополнительно к этому изложению (с целью сделать его еще более простым и понятным) можно естественным образом привоскупить интуиции не только Конвея, но и мои собственные.

С формальной точки зрения открытый мною процесс роста Дерева в терминах гармонических четверок я пытался выразить здесь: http://dxdy.ru/topic16277-45.html (постинг от Пт янв 02, 2009). Хотя, конечно, связь Дерева с гармоническими четверками точек можно объяснить и без излишних формализмов, как это сделано на фотографии с Арбузного форума, который теперь не открывается:
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/1.html