Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \
 

7.1. Евклидовы прямоугольники

7.1.1. Диагонально-оквадраченные квадраты     7.1.2. Окончательное определение
7.1.3. Две основополагающие операции     7.1.4. Программа и фундамент прямоугольника     7.1.5. Рамки
Евклидовыми прямоугольниками мы будем называть конструкции, по определенным правилам сложенные из диагонально-оквадраченных квадратов. Они предлагаются на роль "заменителей дробей" в арифметике.
Например, изображенный слева евклидов прямоугольник соответствует обыкновенной дроби 10/14 (в том смысле, как это указано здесь).
Правила сборки евклидовых прямоугольников приведены на Странице 7.1.2.
Вы можете самостоятельно собрать такие прямоугольники в программе из Раздела 7.1.2.4.
Может возникнуть вопрос: а насколько вообще корректно рассматривать прямоугольники, подобные приведенному выше, в качестве неких заменителей дробей? Ответить на этот вопрос достаточно просто, если воспользоваться следующей остроумной аналогией, предложенной Гудстейном.
Как часто замечалось, можно провести замечательную параллель между игрой в шахматы и математикой ...  Числам ставятся в соответствие шахматные фигуры, а операциям арифметики — ходы этой игры. Но параллель продолжается даже дальше, ибо проблеме определения сущности числа соответствует проблема определения сущности игры.
Если мы зададимся вопросом: "Что такое шахматный король?", то мы обнаружим точно те же трудности при попытке ответить на этот вопрос, какие мы встретили при наших рассмотрениях проблемы определения понятия числа. Несомненно, шахматный король, ходы которого описываются правилами игры, не есть фигура с характерными очертаниями, которую мы называем королём, (так же как различные способы записи некоторого числа не есть число), ибо любой другой объект, например, спичка или кусочек угля, столь же хорошо служил бы королём для игры.
Вместо вопроса: "Что такое шахматный король?" давайте спросим: "Что делает шахматную фигуру королём?". Ясно, что это не очертания этой фигуры и не её размер, ибо и то, и другое может быть по желанию изменено. То, что делает фигуру королём, — это её ходы. Та фигура является королём, которая может ходить как король ... ( Гудстейн, сс. 87 — 88).
В контексте наших рассмотрений мораль приведенного отрывка такова: любой объект можно считать объектом "типа дроби", если он способен "ходить" как дробь. В Разделе 7.2 мы продемонстрируем, что поведение евклидовых прямоугольников и обыкновенных дробей под действием соответствующих операций, по сути дела, совпадает. Именно это обстоятельство и позволяет рассматривать евклидовы прямоугольники как своеобразные "кусочки угля", которыми можно при желании заменить дроби в игре под названием "арифметика".