Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Музыка \ Философия и арифметика музыки \ Пифагорейское учение о гармонии (3) \

7.3.2.1.4.3. Опыт, теория и эксперимент ©

7.3.2.1.4.3.1. Что такое "монохорд"?     7.3.2.1.4.3.2. Лас из Гермионы
Каким образом дошли пифагорейцы до мысли представлять тона числами и музыкальные интервалы — отношениями чисел? На эту тему имеется прекрасная историйка у Никомаха, Гауденция и Боэция, которая, однако, никак не может быть истинной. В ней рассказывается, что Пифагор, проходя мимо кузницы, в тонах падающих молотков услышал интервалы в кварту, квинту и октаву. При помощи точного взвешивания он установил, что веса молотков стояли друг к другу в отношениях чисел 12, 9, 8, и 6.
После этого он пошел домой, четыре одинаковых вертикально подвешенных струны нагрузил тяжестями, пропорциональными этим числам, и установил, что струна, несшая 12 единиц груза, звучала на одну октаву выше струны с 6 единицами, а струны, нагруженные 9 и 8 единицами, давали с последней интервалы в квинту и кварту. Сделанные им наблюдения он подтвердил опытами на монохордах и других инструментах (флейты, сиринги и т. д.).
Другие источники говорят главным образом о наблюдениях на монохорде. В этих последних рассказах, возможно, имеется доля истины. Рассказанная же первая история вполне вымышлена, так как данные в ней сведения относительно весов молотков и натяжений струн являются физически невозможными. Числа колебаний тонов двух во всех отношениях одинаковых струн пропорциональны не напряжениям, а их квадратам; но, по-видимому, никто из древних этого не знал.
Несколько большего доверия заслуживает рассказ у Теона Смиринского, что Лас из Гермионы и люди из кружка пифагорейца Гиппаса Метанонтского установили числовые отношения консонансов из наблюдений над звучанием полных и наполовину пустых сосудов. По рассказу Теона, они взяли два сосуда: "один пустой, а другой наполовину наполненный", затем ударили по ним и получили консонанс в октаву; аналогично они получили кварту и квинту. Но, во всяком случае, для удара это не подходит: для получения вышеупомянутых консонансов надо заставить звучать находящийся в сосудах воздух. При ударе же получаются интервалы гораздо меньшие, чем октава, кварта и квинта.

Мы чувствуем более твердую почву под ногами, обращаясь к специальной литературе. Привлечем в первую очередь "Музыкальные проблемы" Аристотеля.
Подлинность этих "проблем" оспаривается, но даже защитники неподлинности держатся мнения, что музыкальные части "вполне достойны великого философа" и что "все проблемы исходят из его учения". Согласно Прантлю, эти проблемы были собраны поколением перипатетиков, непосредственно следовавшим за Теофрастом. Однако музыкальную терминологию Gevaert — Vollgraff считают принадлежащей доаристоксеновскому периоду. Таким образом, мы совершенно спокойно можем использовать "Проблемы" как источник для теории музыки в исходе 4-го века до н. э.
Составитель "Проблем" принадлежал к пифагорейскому направлению; это становится ясным с самого начала сочинения. Для октавы, квинты и кварты он везде кладет в основу числовые отношения 2:1, 3:2 и 4:3 и истолковывает их вместе с Архитом как отношения скоростей. Более высокому тону всегда соответствует более высокое число. Для эмпирического обоснования упомянутых числовых отношений в проблемах 23 и 50 привлекается целый ряд установленных опытом фактов.
Проблема 23.   ... Если ущипнуть половину струны, то она будет звучать в октаву со всей струной. Точно так же и у сиринг: через дырочку в середине сиринги получается октава для тона целой сиринги. На флейтах октава получается при помощи удвоения расстояния, и так поступают все делители духовых инструментов... Точно так же квинту они получают, увеличивая расстояние наполовину, а кварту — на одну треть. На треугольном струнном инструменте (арфа) одинаково натянутые струны дают октаву, если одна из них вдвое длиннее другой.
Проблема 50.   Почему звучания двух равных и подобных сосудов, из которых один пуст, а другой наполовину полный, дают консонанс октавы? Потому ли, что тон пустого сосуда находится в двойном отношении к тону наполовину пустого? Следует именно принять, что более быстрое движение всегда соответствует более высокому тону; в большем же объеме воздух более медленно доходит до стенок, во вдвое большем — вдвое медленнее и соответственно и в других случаях.
Упомянутые здесь наблюдения над музыкальными инструментами доступны каждому музыканту-практику и в полном ходу у изготовителей музыкальных инструментов, как это указывается в проблеме 23. Таким образом, без дальнейших колебаний можно принять, что пифагорейцы первоначально пришли к числовым отношениям для октавы, квинты и кварты, исходя из подобных наблюдений.

Если это верно, то пифагорейцы исходили первоначально из повседневного опыта. Затем они увидели, что этот опыт дает слишком ненадежную почву для построения точной науки о числах и интервалах. Чтобы получить на флейте октаву для данного тона, нужно примерно удвоить длину звучащего воздушного столба, но не совершенно точно, поскольку необходимы еще небольшие поправки, зависящие от величины дырочек и приспособлений для вдувания.
В случае струн трудно сделать одинаковыми толщину и натяжение. Если бы в действительности кто-нибудь попробовал производить точные измерения числовых отношений при помощи подвешивания грузов, как это передается относительно Пифагора, то при этом понадобилось бы учесть новую неудачу, так как грузы для интервала в октаву относятся не как 1:2, но как .
Собственно говоря, точные измерения возможны лишь при помощи "канона": монохорда, снабженного мерной линейкой и передвижной подставочкой, как он описан у Птолемея в кн. I,8; но подобное измерительное приспособление, по-видимому, относится к более позднему времени.
Уже сами пифагорейцы очень скоро почувствовали необходимость освободиться от данных опыта и, как говорит Птолемей, дать "более теоретическое" обоснование, которое заимствует из опытных данных только тот факт, что музыкальные тона можно вообще измерять числами. Каким образом эмпирически измеряются тона числами — представляет для пифагорейцев второстепенный вопрос, насчет которого можно держаться различных мнений.
К началу данной страницы
Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Разное \ Музыка \ Философия и арифметика музыки \ Пифагорейское учение о гармонии (3) \