Картинки из квадратов \ Арифметика "на квадратах" \ Арифметические операции над прямоугольниками \

7.2.2. Умножение

 
7.2.2.1. Приведение к одинаковой длине вертикальной и горизонтальной сторон
7.2.2.2. Алгоритм умножения в простом случае     7.2.2.3. "Полный" алгоритм умножения
Допустим, что мы захотели умножить какие-либо два рациональных числа x и y, представленные несократимыми обыкновенными дробями (ради определенности, предположим что x = 3/2 и y = 4/3). Действуя по известным алгоритмам, которые еще раз напоминаются на Странице 7.4.2.1, мы получаем результат:
xy = 2/1.
Если те же самые рациональные числа x и y изобразить в виде соответствующих евклидовых прямоугольников, операция умножения может быть записана в следующем виде:
И опять, как и в случае с операцией сложения, нас интересует, каким образом при помощи "наименьшего количества телодвижений" можно перейти от аргументов, изображенных евклидовыми прямоугольниками, к правильному результату, также изображенному евклидовым прямоугольником.
Оказывается, что алгоритмы умножения евклидовых прямоугольников являются даже более простыми, чем алгоритмы их сложения. Как и в последнем случае, они сводятся к различным комбинациям всего лишь только двух основополагающих операций, а также к стандартному алгоритму закладывания прямоугольной области.

Обыкновенные дроби наиболее просто умножаются в случае, когда знаменатель первого сомножителя равен числителю второго:
(a/b)(b/c)  =  (a/c).
античной арифметике в этом случае говорили о "составлении отношений" — некоторой арифметической операции, берущей свое начало в теории музыки).
Соответствующий "простой случай умножения" для евклидовых прямоугольников реализуется тогда, когда длина вертикальной стороны первого сомножителя равна длине горизонтальной стороны второго (далее ради краткости мы будем называть такие прямоугольники вертикально-горизонтально равными).
Слева приведен пример вертикально-горизонтально равных евклидовых прямоугольников.
В соответствии с соглашением со Страницы 7.1.2.3, вертикально-горизонтально равным евклидовым прямоугольникам отвечает пара обыкновенных дробей, знаменатель первой из которых равен числителю второй.
Алгоритм умножения вертикально-горизонтально равных прямоугольников изложен в Разделе 7.2.2.2. Если же исходные евклидовы прямоугольники не являются вертикально-горизонтально равными, они должны быть приведены к такому виду при помощи методов из Раздела 7.2.2.1. По своему смыслу эти методы соответствуют процедуре приведения двух пар натуральных чисел к "составимому" виду. Эта процедура применялась в античной арифметике, если данную пару натуральных чисел невозможно было "составить" непосредственно (предложение VIII-4-5  8-ой книги "Начал" Евклида).
Таким образом, полный алгоритм умножения евклидовых прямоугольников состоит из двух этапов: приведения их (если это нужно) к вертикально-горизонтально равному виду и последующего умножения вертикально-горизонтально равных прямоугольников. Примеры работы полного алгоритма приведены в Разделе 7.2.2.3.